Cтраница 1
Школьная геометрия состоит из двух частей: планиметрии и стереометрии. [1]
В обычной школьной геометрии основными геометрическими элементами считаются точки, а линии и поверхности рассматриваются как семейства ( геометрические места) этих точек. Отдел геометрии, занимающийся этими вопросами, называют часто высшей геометрией прямых. Впрочем, в сочинениях последнего времени эпитет высшая принято опускать. [2]
Вторая существенная компонента школьной геометрии - это измерение длин и углов и выяснение соотношений между линейными и угловыми элементами различных фигур. Потребовалось длительное историческое развитие, прежде чем было осознано, что в основе этих измерений лежит существование отдельного математического объекта - группы движений евклидовой плоскости или евклидова пространства как целого, и что все метрические понятия могут быть определены в терминах этой группы. Клейна ( 1872) зафиксировала понимание этого замечательного принципа, и геометрией надолго стало изучение пространств М, снабженных достаточно большой группой симметрии, и свойств фигур, инвариантных относительно действия этой группы, включая углы, расстояния и объемы. [3]
Почти все результаты школьной геометрии касаются длин и углов. О чем же тогда говорить, если на эти вещи наложено табу. Существуют ли вообще тогда какие-либо теоремы. [4]
Метод координат упрощает поиски решений задачи школьной геометрии. Чаще всего используются уравнения прямой и окружности, формула длины отрезка, условие перпендикулярности двух прямых. Объем вычислений зависит от того, насколько удачно расположена исследуемая фигура относительно прямоугольной системы координат. [5]
Для этих курсов, как и для школьных геометрии, физики, математики, химии, географии и других, созданы пакеты прикладных программ, объединенные в общую библиотеку страны. [6]
Влияние группового подхода Клейна можно проследить во всех темах школьной геометрии. Каждая фигура F определяет некоторую группу движений; эта группа содержит все те движения, которые переводят фигуру F в себя, и называется группой самосовмещений ( или группой симметрии) фигуры F. Знание группы самосовмещений фигуры jF во многом определяет геометрические свойства этой фигуры. Все свойства параллелограмма вытекают из того, что его группа самосовмещений содержит ( кроме тождественного преобразования) центральную симметрию. Группа самосовмещений ромба ( или прямоугольника) богаче: она содержит еще две осевые симметрии, и это полностью определяет те дополнительные свойства, которые имеет эта фигура по сравнению с параллелограммом общего вида. [7]
Подозреваю, что nd этой причине реакции учащихся на формальную школьную геометрию особенно разнообразны: они рационализировали свой опыт разными способами. Действительно, даже для зрелых математиков существуют весьма различные пути рационализации геометрических фактов, которые все являются правильными. [8]
И лишь одна проблема, третья, связана с вопросами преподавания школьной геометрии. Гильберт обращает внимание на то, что при вычислении объема треугольной пирамиды еще со времен Евклида используется довольно сложный предельный переход ( чертова лестница - ср. Обосновать использование этого лишнего ( по сравнению с планиметрией) предельного перехода, доказать, что без него теория объемов многогранников не может быть построена - в этом и состоит существо проблемы. [9]
Доказательство этой теоремы несложно, по вот что досадно: в курсе школьной геометрии оно возможно лишь в том случае, когда окружности пересекаются. [10]
Если вы хоть немного знаете евклидову геометрию, вы заметите, что эта теорема совершенно не похожа на большинство теорем школьной геометрии. [11]
Но ясно что если выпуклый л-угольник М имеет круг К своим Описанным кругом то существует вписанный в JC в смысле школьной геометрии выпуклый я-угольник MI, периметр и площадь которого не меньше периметра и площади М - - так, если М заключает центр О круга Д внутри себя, то мы можем сдвинуть все расположенные строго внутри ( не на границе. [12]
Популярность аксиоматики Гильберта объясняется не только тем, что она была первой, получившей широкое признание аксиоматикой геометрии, но и ее близостью к традиционной школьной геометрии. [13]
И в том, и в другом случае величина ln7V / ln ( l / r) представляет собой размерность подобия рассматриваемой фигуры, - величина, о которой школьная геометрия не считает нужным упоминать, так как ее значение сводится к евклидовой размерности. [14]
АКСИОМАТИЧЕСКИЙ МЕТОД-от греческого слова axioraa, что означает удостоенное, принятое предложение. Вся школьная геометрия строится на аксиомах Эвклида, из которых последовательно - от теоремы к теореме выводятся многообразные геометрические понятия и формулы. Так и любая научная теория в принципе может строиться на основе некоторого чис - - ла положений, принятых заведомо правильными. Такое построение теорий называется аксиоматическим, очо распространено в точных науках. [15]