Cтраница 2
На евклидовой плоскости школьная геометрия учит измерять площади таких фигур, как прямоугольники, треугольники и, с некоторым трудом, круги. Обобщение этих понятий дает глубокая общая теория меры, естественное место которой не здесь. [16]
Наряду с обращением доказательство от противного является традиционным логическим предметом обучения геометрии. При логически элементарном характере школьной геометрии можно было думать, что доказательство от противного в геометрии, которое рассматривается в школе, является излишним. Если обратиться к учебникам, то наше предположение подтверждается. Доказательства от противного часто лишь кажутся таковыми. [17]
Из произвольной точки Р, лежащей на прямой АВ, проводим касательные PS и РТ к окружностям. Согласно приведенной выше теореме, PS2 РА-РВ РТ2; поэтому PS PT, Этот результат известен еще из курса школьной геометрии, касательные к двум окружностям, проведенные из точки Р, лежащей па прямой АВ, равны. [18]
Ограничиваясь лишь самым необходимым и никак не претендуя на полноту, начнем с обязательных для науки первичных представлений - их называют определениями и аксиомами. На плоскости - это известная из школьной геометрии прямая. На сфере прямой оказывается дуга большого круга, или - в понятиях Евклида - линия пересечения поверхности сферы с плоскостью, проведенной через две точки на сфере, определяющие прямую, и центр сферы. Как и на плоскости, через две точки А и В можно провести единственную прямую, исключая случай, когда эти точки и центр сферы О лежат на одном диаметре: через полюса Р и Р сферы можно провести сколь угодно много разных прямых. Длина всех прямых на сфере в отличие от евклидовой конечна, и - еще более странно - одинакова А расстояние между двумя любыми точками на сфере не может превзойти некоторую постоянную. Чему равна эта постоянная9 Назовем окружностью на сфере геометрическое место точек, находящихся на одинаковых расстояниях от заданной точки - центра окружности. [19]
В этой формулировке, которая называется принципом эквивалентности, прямые опыты проведены так, что они описывают невозможность отличить инерцию от тяжести. И вот Эйнштейн заявляет, что неразличимость есть закон природы, и таким образом приходит к общей теории относительности. Она является одним из самых смелых и величественных достижений человеческой мысли. Искривленные орбиты планет истолковываются как наипрямейшие в пространственно-временной геометрии, которая отличается от нашей школьной геометрии, учения Евклида. Само пространство принимается искривленным, причем его кривизна зависит от масс небесных тел. Система понятий Ньютона заменяется совершенно другой системой. Единственное известное противоречие классической астрономии - ничтожное, но достоверно установленное расхождение между теорией и наблюдением в орбите планеты Меркурий - объясняется без дополнительных предположений, ( ругие оптические следствия теории Эйнштейна также подтвердились, правда, с меньшей точностью. [20]
Все множество S является своею гранью. Грань множества 5, состоящая из одной точки, называется вершиной S. Читателю следует представить себе куб, октаэдр и многогранный угол в трехмерном пространстве, чтобы иметь наглядную картину основной ситуации, важной для линейного программирования. Грани этих фигур в смысле нашего определения - это грани, ребра и вершины из школьной геометрии плюс сама фигура. [21]
Под аксиомами современная наука понимает нечто иное, чем очевидные истины, не требующие доказательства. Этот устаревший взгляд на аксиомы субъективен, так как то, что очевидно для одного, может не быть очевидным для другого. Аксиомы также не истины, которые доказать невозможно. Любое предложение можно доказать, если исходить из целесообразно выбранных для этого аксиом. Таким образом, при аксиоматическом методе изложения геометрии ( и любой другой ветви математики) мы еще больше, чем в школьной геометрии, применяем процесс абстракции от вещей реального мира, от обычных пространственных представлений и тем самым получаем возможность давать различные истолкования геометрическим объектам. Формально выбор основных понятий и аксиом геометрии при аксиоматическом ее построении кажется совершенно свободным, произвольным, зависящим исключительно от творческого духа того или иного ученого. Так и утверждают идеалисты. [22]
Вероятно, он жил во времена первого Птолемея ( 306 - 283), которому, согласно преданию, он заявил, что к геометрии нет царской дороги. Его наиболее знаменитое и наиболее выдающееся произведение - тринадцать книг его Начал ( Stoicaeia), но ему приписывают несколько других меньших трудов. Среди последних так называемые Данные ( Data), содержащие то, что мы назвали бы приложениями алгебры к геометрии, но все это изложено строго геометрическим языком. Мы не знаем, какая часть этих трудов принадлежит самому Евклиду и какую часть составляют компиляции, но во многих местах проявляется поразительная проницательность. В истории Западного мира Начала, после Библии, вероятно, наибольшее число раз изданная и более всего изучавшаяся книга. После изобретения книгопечатания появилось более тысячи изданий, а до того эта книга, преимущественно в рукописном виде, была основной при изучении геометрии. Большая часть нашей школьной геометрии заимствована часто буквально из первых шести книг Начал, и традиция Евклида до сих пор тяготеет над нашим элементарным обучением. Для профессионального математика эти книги все еще обладают неотразимым очарованием, а их логическое построение повлияло на научное мышление, пожалуй, больше, чем какое бы то ни было другое произведение. [23]