Cтраница 2
В связи с этим необходимо развить четырехмерную геометрию в произвольных криволинейных координатах. [16]
В этой связи небезынтересно выяснить, что представляют собой инерциальные системы и преобразование Галилея в такой четырехмерной геометрии. Это совсем нетрудно, так как у - и г-координаты не входят в преобразование вообще. [17]
Однако закон электродинамики, написанный в форме уравнения (25.29), содержит нечто большее, чем простую запись; в векторном анализе, кроме простоты записи, также есть нечто большее. Тот факт, что уравнения электромагнетизма можно записать в особых обозначениях, которые специально приспособлены для четырехмерной геометрии преобразований Лоренца, иначе говоря, как векторные уравнения в четырехмерном мире, означает, что они инвариантны относительно преобразований Лоренца. Именно потому, что уравнения Максвелла инвариантны относительно этих преоб разований, их можно записать в столь красивом виде. [18]
От его ранних работ [42, 43] на данную тему этот доклад отличался более простым изложением и некоторой категоричностью формулировок, согласно которым относительным величинам отводилось место теней и фикций, лишь косвенно связанных с физической реальностью. Этим весьма спорным противопоставлением абсолютных величин доклад Минковского отличался от работы Пуанкаре, в которой впервые была применена четырехмерная геометрия для описания времени - пространства новой физической теории. В неизменных соотношениях для относительных величин Пуанкаре усматривал основное содержание новой физической теории, не выделяя при этом сами инварианты в класс более реальных величин. Он также далек был от переоценки значения четырехмерного формализма и в объединении пространства и времени в единой геометрической схеме видел лишь удобный математический способ изображения возникающей в силу глубоких физических причин взаимосвязи между этими разнородными величинами. [19]
Подобным же образом в общей теории относительности встречаются случаи, несовместимые с граничным условием, указанным в табл. 15.2, а следовательно, и с третьей формулировкой принципа Маха, но которые все же можно свести к случаям, совместимым с этим граничным условием. Рассмотрим, например, сферически симметричное распределение масс, окруженное пустым пространством. С таким распределением масс связана обычная четырехмерная геометрия Шварцшильда. [20]
Наряду с идеями Римана Плюккер выдвинул ту идею, что элементами пространства не обязательно должны быть точки ( 1865 г.), так что геометрия прямых линий в трехмерном пространстве может рассматриваться как четырехмерная геометрия или, как подчеркивал Клейн, как геометрия четырехмерной поверхности второго порядка в пятимерпом пространстве. [21]
Как и при подходе 2, при подходе 3 к разработке плана общей теории относительности мы прежде всего задаем на замкнутой пространственноподобной гиперповерхности значения Wgik и ( d / dxQ) Wgik. Точно так же, как и при подходе 2, должны быть, кроме того, заданы плотность энергии и ее поток. Найдя функции следования и сдвига, мы уже поступаем в дальнейшем точно так же, как при подходе 2: 1) вычисляем внешнюю кривизну Kik 2) вычисляем полевой момент яг Л; 3) с помощью всех десяти уравнений Эйнштейна определяем четырехмерную геометрию в прошлом и будущем. [22]
До последнего времени1) даже не предполагалось, что задача начальных значений в геометродинамике имеет много общего с задачей начальных значений в электродинамике. И только после того, как это было осознано, стало понятным, где зарыта собака в теории относительности. До того как был сделан этот шаг, было неизвестно, какие стороны четырехмерной геометрии могут задаваться произвольно, а какие являются следствиями уже заданных. [23]
Так, в случае мира Тауба [13] для искривления пространства, приводящего к замыканию, оказывается достаточно одного лишь гравитационного излучения. Рассмотрим в четырехмерной геометрии мира Тауба гиперповерхность, или трехмерную геометрию, определенную моментом временной симметрии или максимального расширения. Внося в эту геометрию такое возмущение, чтобы образовался сферический сгусток вещества, первоначально сколь угодно малый, а в дальнейшем увеличивающийся или уплотняющийся ( или и то и другое), мы обнаружим вблизи этой массы геометрию, близкую к шварцшильдовской. В таком мире было бы некорректным говорить, что геометрия прежде всего определяется истинной массой и только в меньшей степени возмущается гравитационным излучением, - напротив, здесь именно гравитационное излучение в первую очередь определяет четырехмерную геометрию и инертные свойства пробных частиц. Одиночная истинная масса привносит лишь небольшое возмущение в геометрию, если не считать ее ближайшей окрестности. [24]
Другим важным применением квантовой геометродина-мики являются квантовые флуктуации геометрии пространства. Выражение квантовые флуктуации имеет более глубокий смысл. Их можно понимать как такое движение, которое невозможно выморозить при сколь угодно низкой температуре. Такие флуктуации существуют всегда. В случае электромагнитного вакуума флуктуируют как электрическое, так и магнитное поля. Если обратить в нуль обе эти динамические сопряженные полевые переменные, то принцип неопределенности снова был бы нарушен. Это справедливо и в квантовой геометродинамике. Сопряженные переменные здесь - внутренняя кривизна трехмерного пространства и внешняя кривизна, которая получается, когда это трехмерное пространство рассматривается относительно объемлющей его четырехмерной геометрии. Обе динамические величины не могут быть одновременно обращены в нуль без нарушения принципа неопределенности Гейзенберга. Вследствие этого пространство на расстояниях порядка квантовой длины описывается именно геометродинамикой независимо от того, каким флук-туациям будут подвержены там электромагнитные полевые величины. [25]