Cтраница 1
Дифференцирование ряда ( 61) дает, как будет показано ниже, равномерно сходящийся ряд, чем оправдывается применение формулы ( 32) к бесконечному ряду. [1]
Но двукратное дифференцирование ряда (2.52) теперь уже не является законным, и нельзя утверждать, что этот ряд есть решение поставленной смешанной задачи. Более того, не гарантировано, что при наложенных условиях существует решение поставленной математической задачи. Это не означает, конечно, что не имеет решения физическая задача о колебаниях стержня при указанном начальном распределении смещения. Колебания при этих условиях возникают, но они совсем не обязаны иметь непрерывные вторые производные, а при выводе дифференциального уравнения задачи мы предполагали, что искомая функция ( х, t) эти непрерывные вторые производные имеет. [2]
Проблема дифференцирования ряда еще остается неразрешенной. Тот факт, что для нахождения перемещения можно пренебречь всеми гармониками сверх двенадцати, не означает, что это же будет верно для скорости и, еще в меньшей мере для ускорения. Производная от хорошего приближения функции не обязательно будет хорошим приближением для производной от функции. Но эти члены более высокого порядка не могут быть получены путем дифференцирования ряда Фурье для f ( x) ввиду того, что коэффициенты bk, соответствующие этим значениям k, почти полностью обусловлены помехами и не показательны для поведения / ( х) при отсутствии помех. [3]
Почленное же дифференцирование ряда ( 86) законно вследствие его равномерной сходимости на основании теоремы Вейерштрасса. Аналогично можно проверить справедливость уравнения и для остальных функций тэта. [4]
Почленное же дифференцирование ряда ( 86) законно вследствие его равномерной сходимости нп основании георемы Вейерштрасса. [5]
Отметим, что дифференцирование рядов с ( 7) допустимо вследствие равномерной сходимости рядов, полученных в результате дифференцирования. [6]
При почленном интегрировании или дифференцировании ряда ( 48) его радиус сходимости не меняется. [7]
Теперь рассмотрим вопросы почленного интегрирования и дифференцирования рядов. Поскольку производная и дифференциал определялись только в вещественной области, то, начиная отсюда, до конца этого параграфа, будем считать, что все рассматриваемые функции определены на вещественных промежутках и принимают вещественные значения. [8]
Разумеется, это замечание не может оправдывать беззаботного дифференцирования рядов без последующей проверки законности этих действий. [9]
Доказанные предложения непосредственно приводят к соответствующим теоремам относительно дифференцирования рядов. [10]
Мы здесь не будем заниматься вопросом о законности дифференцирования ряда Фурье, отсылая интересующихся к более подробным руководствам. Заметим, что условия, при которых возможно почленное дифференцирование ряда Фурье, могут быть, в частности, получены и из общих теорем о возможности почленного дифференцирования функционального ряда с действительными членами, рассматриваемых в курсе анализа. [11]
Такие разложения уже применялись нами, когда мы имели дело с дифференцированием ряда Фурье ( ср. [12]
Причину этого равенства легко усмотреть из того, что было сказано выше о дифференцировании рядов. [13]
Отсюда вытекает, что к равномерно сходящимся интегралам можно непосредственно приложить соответствующие теоремы, относящиеся к непрерывности, интегрированию и дифференцированию рядов. Поэтому весьма важно уметь распознавать равномерную сходимость. Следующее правило далеко от того, чтобы быть общим, но оно достаточно во многих случаях. [14]
Поскольку колебательная скорость и ускорение колебательного движения являются производными от смещения по времени, очевидно, их спектры должны быть производными спектра смещения и могут быть получены дифференцированием ряда слагаемых гармоник по времени. В обратном случае, когда известен спектр ускорения, спектры скорости и смещения могут быть получены интегрированием спектра ускорения. [15]