Cтраница 2
Вейерштрасса ряд, составленный из производных, равномерно сходится в промежутке ( - оо, оо) и, значит, к заданному ряду можно применить теорему о дифференцировании рядов. [16]
Вейерштрасса ряд, составленный из производных, равномерно сходится в промежутке ( - со, оо) и, значит, к заданному ряду можно применить теорему о дифференцировании рядов. [17]
Равномерная сходимость представляет собой наиболее сильный тип сходимости, которая только и обеспечивает для равномерно сходящихся рядов некоторые очень важные свойства, в том числе возможность почленного интегрирования и дифференцирования рядов. [18]
Вейерштрасса ряд, составленный из производных, равномерно сходится в промежутке ( - оо, - f оо) и, значит, к заданному ряду можно применить теорему о дифференцировании рядов. [19]
К таким проблемам следует отнести проблемы меры множества, длин кривых и площадей поверхностей, приближения и представления функций, первообразной и интеграла, взаимосвязи интегрирования и дифференцирования, почленное интегрирование и дифференцирование рядов, свойства функций, полученных в результате предельного перехода и др. Решение этих проблем имело принципиальное значение для математики. [20]
О, целиком лежащей в области G, и докажем, во-первых, что ряд ( 1) изображает функцию f ( г), аналитическую в области О; во-вторых, что после дифференцирования ряда ( 1) произвольное число раз получается новый ряд, который будет также равномерно сходящимся во всякой замкнутой области G, внутренней к О, и будет изображать соответствующую производную функции f ( z), или, короче: ряд ( 1) можно почленно дифференцировать сколько угодно раз. [21]
Из равномерной сходимости рядов (7.7) и непрерывности их членов следует, что ряды (7.7) можно почленно интегрировать, причем получающиеся ряды сходятся равномерно. Возможность дифференцирования рядов (7.7) по t следует из существования и непрерывности производных каждого члена ряда. [22]
Но предварительно надо представить все известные функции в этом уравнении также в виде рядов Фурье по многочленам Чебышева-Лагерра. Однако при дифференцировании рядов по многочленам Чебышева-Лагерра и при вычислении произведений в уравнении ( 1) появятся производные многочленов Чебышева-Лагерра и произведения их на степени независимого переменного. [23]
Фурье, то ее производная и интеграл тоже будут периодическими функциями, разлагаемыми в ряд Фурье. Однако быстрота сходимости в этих случаях различна: для производной сходимость становится медленнее. Это следует из того, что при дифференцировании ряда Фурье амплитуда каждой гармоники должна умножаться на свою частоту, возрастающую пропорционально номеру гармоники. Фурье, сходящийся быстрее, так как амплитуда каждой гармоники при интегрировании ряда делится на ее частоту. [24]
При этом получают приближенное решение поставленной задачи. И для получения этого приближенного решения не имеет значения ответ на вопрос - имеет ли сама исходная задача классическое или обобщенное решение. Если двукратное дифференцирование ряда является законным, решение будет классическим, если же дифференцирование не законно, - обобщенным. [25]
Проблема дифференцирования ряда еще остается неразрешенной. Тот факт, что для нахождения перемещения можно пренебречь всеми гармониками сверх двенадцати, не означает, что это же будет верно для скорости и, еще в меньшей мере для ускорения. Производная от хорошего приближения функции не обязательно будет хорошим приближением для производной от функции. Но эти члены более высокого порядка не могут быть получены путем дифференцирования ряда Фурье для f ( x) ввиду того, что коэффициенты bk, соответствующие этим значениям k, почти полностью обусловлены помехами и не показательны для поведения / ( х) при отсутствии помех. [26]