Cтраница 2
Векторные поля в U образуют модуль над Ж - алгеброй F функций в U. Свойства 3 и 4 означают, что операция L, переводящая поле v в дифференцирование Lv - гомоморфизм F-модуля полей в F-модуль всех дифференцирований алгебры F. Свойство 5, если оно имеет место, означает, что дифференцирования Lu и Lv коммутируют. [16]
Представление 5 определяет гомоморфизм универсальной обертывающей алгебры U для, ядро X которого имеет конечную коразмерность. Пусть 3 обозначает идеал из утверждения этой леммы. При l Z1 определим 1К как дифференцирование алгебры U, продолжающее дифференцирование 5 - [ sl ] алгебры &. S, которое является представлением подалгебр ( 3 и й: в отдельности. [17]
Важный класс йордановых супералгебр связан с алгебрами скобок Пуассона. Пусть А - ассоциативно-коммутативная алгебра, на которой определена кососимметрическая билинейная операция, у ( скобки Пуассона), относительно которой А является алгеброй Ли, причем для каждого а. А отображение х - а, х является дифференцированием алгебры А. [18]
Мы видели ( упражнение 1.4), что 82 имеет нулевой центр. X) ( X) ( 8)) - алгебра дифференцирований алгебры 3) ( 8), а 82 отождествляется с идеалом своих внутренних дифференцирований. Поэтому алгебра 8j S субинвариантна в 8; ( упражнение 1.8) и каждая алгебра 8; имеет нулевой центр. [19]
Алгебры Ли имеют весьма развитую теорию, находящую применение в разных областях математики. Им посвящена обширная литература, в том числе ряд статей данной серии. В нашей статье они будут играть второстепенную роль, появляясь лишь эпизодически, в основном, как алгебры дифференцирований других алгебр. [20]
ЛИ АЛГЕБРА АЛГЕБРАИЧЕСКОЙ ГРУППЫ - аналог Ли алгебры аналитической группы, относящийся к случаю аффинных алгебраич. G есть касательное пространство к G в единице, а структура алгебры Ли определена в нем с помощью левоинвариантных дифференцирований алгебры функций на G. Точное определение состоит в следующем. [21]
Таким же образом можно посчитать супераналоги тензора Римана, но эти аналоги не имеют ничего общего с тем, что у физиков называется супергравитацией. У нас есть структура ниль-потентной алгебры на gr TmM. Назовем ее 0; это алгебра Ли, градуированная отрицательными числами. Добавим еще до - подалгебру в алгебре дифференцирований алгебры Ли 0, состоящую из-дифференцирований, сохраняющих градуировку. Если такое обобщенное картановское продолжение ( 0, 0о) подставить в ( 3), заменив - 1 на -, то, по крайней мере в том случае, когда 0о и 0 это то, что рассматривают физики в случае супергравитации при N 1, мы получим какие-то условия, которые, по моему мнению, должны были бы совпасть с тем, что получается у физиков. Мы - это Павел Грозман, который написал программу для вычисления этого дела, и я, который придумал это обобщение. Прежде чем просить Грозмана написать программу, я попросил Лену Полетаеву, которая умеет считать, посчитать для N 1, и у нее результат в точности совпал с тем, что получается у физиков. Уже при / V 1 считать руками очень тяжело. И у Грозмана ответ не совпал. Грозман спросил, в чем разница: у всех больше или у нас больше. [22]
G равна размерности группы G. G и ее связной компоненты единицы совпадают. Тогда, отождествляя L ( G) с Lie ( G), можно описать L ( Н) как множество всех таких элементов из Lie ( G), к-рые аннулируют J. Это описание особенно удобно при рассмотрении линейных алгебраич. А именно, пусть / - идеал A tEnd V ], состоящий из элементов, равных нулю на G. Тогда L ( G) CTi ] l ( V) состоит в точности из таких эндоморфизмов X пространства V, что дифференцирование алгебры К [ End V ], порожденное эндоморфизмом Y i - XY пространства End V, переводит / в себя. [23]