Cтраница 2
Диагонали параллелограмма, вписанного в эллипс, будут сопряженными диаметрами, когда отношение сторон параллелограмма к параллельным им диаметрам одно и то же для обеих сторон; диагонали параллелограмма, вписанного в гиперболу, будут сопряженными диаметрами, если отношение стороны параллелограмма к параллельному ей диаметру, пересекающему гиперболу, равно отношению другой стороны параллелограмма к параллельному ей диаметру, пересекающему сопряженную гиперболу. Точка пересечения прямых, соединяющих середины противоположных сторон параллелограмма, совпадает с точкой пересечения его диагоналей. [16]
У сопряженных гипербол действительная ось одной является мнимой осью другой, мнимая же ось одной является действительной осью другой. Сопряженные гиперболы имеют одни и те же асимптоты. [17]
Заметим в заключение, что на одной и той же евклидовой плоскости можно задать бесконечно много различных метрик Минковского. Каждой из них соответствует своя пара сопряженных гипербол в качестве единичной окружности; обратно, любая пара сопряженных гипербол служит единичной окружностью для некоторой ( вполне определенной) метрики Минковского. [18]
Заметим в заключение, что на одной и той же евклидовой плоскости можно задать бесконечно много различных метрик Минковского. Каждой из них соответствует своя пара сопряженных гипербол в качестве единичной окружности; обратно, любая пара сопряженных гипербол служит единичной окружностью для некоторой ( вполне определенной) метрики Минковского. [19]
Рассмотрим плоские сечения гиперболического параболоида. На рис. 126 приведен отсек гиперболического параболоида, выделенный секущими плоскостями в предыдущем примере. На горизонтальной проекции эти линии сечений изображаются сопряженными гиперболами с общими асимптотами. [20]
Кривая расположена в двух вертикальных углах и является геометрическим местом точек, произведение расстояний которых до двух взаимно перпендикулярных прямых постоянно. Эти прямые являются асимптотами кривой. В аффинной формулировке, которая распространяется на все гиперболы, имеем: Совокупность двух сопряженных гипербол является геометрическим местом точек М, для которых параллелограмм с диагональю ОМ и с двумя сторонами, отложенными на асимптотах, имеет постоянную площадь. [21]
Это и есть уравнение индикатрисы Дюпена. Кривая эта дает геометрически наглядное представление об изменении величины радиуса кривизны при вращении нормального сечения вокруг нормали к поверхности. В эллиптическом случае кривая ( 58) есть эллипс, и в правой части надо брать определенный знак. В гиперболическом случае уравнению ( 58) соответствуют две сопряженные гиперболы. [22]