Cтраница 1
Однополые и двуполые гиперболоиды определяются с точностью до гомотетии заданием их асимптотического конуса. [1]
Продольная ось двуполого гиперболоида и пара взаимно перпендикулярных осей симметрии горлового эллипса сопряженного однополого гиперболоида образуют главную тройку диаметров каждого из этих гиперболоидов. Действительно, плоскость горлового эллипса есть диаметральная плоскость, сопряженная к продольной оси; а так как взаимно перпендикулярные оси симметрии горлового эллипса суть сопряженные диаметры этого эллипса, то вместе с продольной осью они образуют сопряженную тройку диаметров рассматриваемых гиперболоидов. [2]
Плоские сечения двуполых гиперболоидов суть эллипсы ( могущие вырождаться в произвольную точку гиперболоида), гиперболы и параболы. [3]
Рассмотрим какую-нибудь полу произвольного двуполого гиперболоида, асимптотического к данному конусу второго порядка ( черт. [4]
Проведем опять через вершины равностороннего двуполого гиперболоида вращения плоскости перпендикулярно к его оси враидения ( см. черт. [5]
Из полученных результатов следует, что трехосный двуполый гиперболоид имеет четыре омбилические точки), а двуполый гиперболоид вращения - только две; однополые же гиперболоиды совсем не имеют омбилических точек. [6]
Из геометрических соображений ясно, что эллипсоиды, двуполые гиперболоиды и эллиптические параболоиды являются поверхностями положительной кривизны. [7]
Таким образом, проведенные выше рассуждения показывают, что двуполый гиперболоид с заданным асимптотическим конусом второго порядка можно определить как геометрическое место центров оснований цилиндров одинакового объема, опирающихся на этот конус, а сопряженный однополый гиперболоид - как геометрическое место средних эллипсов этих цилиндров. [8]
Таким образом, общие ( трехосные) эллипсоид и двуполый гиперболоид имеют по четыре омбилических точки; эллипсоид вращения, двуполый гиперболоид вращения и общий эллиптический параболоид - только по две; наконец, параболоид вращения имеет лишь одну омбилическую точку. Однополый же гиперболоид вовсе не имеет омбилических точек, так как диаметры, на которых лежат центры круговых сечений этого гиперболоида, очевидно, вовсе не пересекают его. [9]
Плоскости, касающиеся конуса второго порядка, вовсе не пересекают асимптотических к нему двуполых гиперболоидов ( что очевидно), пересекают сам конус по паре прямых, совпадающих с соответствующей образующей ( в чем и выражается соприкосновение плоскости и конуса по образующей) и, наконец, пересекают асимптотические к конусу однополые гиперболоиды по парам прямых, параллельных образующей и симметрично расположенных относительно нее ( см. черт. [10]
Таким образом, приходим к заключению, что поверхность сечений есть часть поверхности двуполого гиперболоида вращения, которого будут касаться различные плоскости плавания своими центрами С. Так как центр вытесненного объема Я лежит на 3 / 4 отрезка ОС, то заключаем, что поверхность центров есть подобный гиперболоид вращения. [11]
Гиперболоид вращения имеет в качестве главных троек диаметров тройки, составленные из действительной оси двуполого гиперболоида и произвольной пары взаимно перпендикулярных диаметров горловой окружности сопряженного однополого гиперболоида. Никаких других главных троек диаметров гиперболоид вращения не имеет. [12]
Из полученных результатов следует, что трехосный двуполый гиперболоид имеет четыре омбилические точки), а двуполый гиперболоид вращения - только две; однополые же гиперболоиды совсем не имеют омбилических точек. [13]
Ха, Х8, то получится объем, ограниченный двумя софокусными эллипсоидами, двумя софокуснымн однополыми гиперболоидами и двумя софокусными двуполыми гиперболоидами. Тройной интеграл распадается сам собой на ( i членом, каждый из которых есть произведение трех простых интегралов. [14]
Таким образом, общие ( трехосные) эллипсоид и двуполый гиперболоид имеют по четыре омбилических точки; эллипсоид вращения, двуполый гиперболоид вращения и общий эллиптический параболоид - только по две; наконец, параболоид вращения имеет лишь одну омбилическую точку. Однополый же гиперболоид вовсе не имеет омбилических точек, так как диаметры, на которых лежат центры круговых сечений этого гиперболоида, очевидно, вовсе не пересекают его. [15]