Двуполый гиперболоид

Cтраница 2

Таким образом из данной системы софокусных поверхностей второго порядка через данную точку всегда проходят один эллипсоид, один однополый гиперболоид и один двуполый гиперболоид. Из этих трех систем каждая пересекает две другие под прямым углом. Вине первый доказал, что кривые пересечения будут в то же время линиями кривизны этих поверхностей. Шарль Дюпен в своих Developpements de geometrie показал, что эта теорема всегда имеет место, если три системы поверхностей пересекаются взаимно ортогонально. [16]

Легко видеть, что и обратно, каждая плоскость, отсекающая от асимптотического конуса этот объем, пересекает конус по эллипсу, центр которого лежит на рассматриваемом двуполом гиперболоиде. Действительно, эта плоскость может быть с помощью некоторого гиперболического поворота сделана перпендикулярной к оси вращения. При этом вследствие равенства отсекаемых объемов эта плоскость совпадет с плоскостью, проходящей через соответствующую вершину перпендикулярно к оси, и, значит, центр сечения совпадет с этой вершиной. Но тогда обратный гиперболиче ский поворот, возвращающий его в центр исходного эллипса, оставит его, вместе с тем, на поле того же гиперболоида. [17]

Геометрическое место центров этих эллипсов есть некоторая прямая, проходящая через вершину конуса внутри его ( за вычетом некоторых, отрезков с серединой в вершине конуса в случае двуполых гиперболоидов) ( черт. [18]

Таким образом, мы получили следующий результат: Гиперболоид не являющийся гиперболоидом вращения, имеет одну ( и только одну) главную тройку диаметров, а именно, составленную из действительной оси двуполого гиперболоида и осей горлового эллипса сопряженного однополого гиперболоида. [19]

Точки пересечения двуполого гиперболоида с его продольной осью называются вершинами этого гиперболоида. По доказанному в п 1, вершины двуполого гиперболоида - это точки, ближайшие к его центру. [20]

Тройка радиусов, идущих из центра по сопряженной тройке диаметров до данного и сопряженного к нему гиперболоидов, называется сопряженной тройкой радиусов гиперболоида. Один из трех радиусов, образующих сопряженную тройку, всегда идет к двуполому гиперболоиду, а два других - к сопряженному однополому. Действительно, это верно для тройки радиусов гиперболоида ( 1), идущих по осям координат, но из нее с помощью аффинных преобразований, переводящих гиперболоид в себя, могут быть получены все сопряженные тройки радиусов любого гиперболоида. Свобода выбора сопряженной тройки радиусов, очевидно, такова. [21]

На геометрическом языке это значит, что мы хотим, чтобы некоторые ( чем больше - тем лучше) преобразования Лоренца не смещали бы гиперповерхностей а, но двигали бы их самих по себе, осуществляли бы на них внутренние движения. Такое возможно лишь для поверхностей постоянной кривизны - пространственно-подобных гиперплоскостей или сфер ( пространственно-подобная сфера в псевдоевклидовом пространстве скорее походит - во всяком случае, на наших чертежах - на двуполый гиперболоид, см. в виде примера чертеж поверхности энергии на стр. В соответствии с этим оказывается, что релятивистскую динамику можно строить в трех различных формах: мгновенной, когда за гиперповерхности о принимается семейство параллельных гиперплоскостей - такая форма представляется наиболее обычной с точки зрения аналогии с нерелятивистской теорией, точечной, когда за о выбираются гиперсферы, и фронтальной, когда гиперповерхностями являются гиперплоскости, касающиеся светового конуса. [22]

Однополый и двуполый гиперболоиды вращения. В этом случае гиперболоиды ( 1) и ( 2) называются гиперболоидами вращения. Мы видим, что однополый гиперболоид вращения получается путем вращения гиперболы вокруг ее мнимой оси, а двуполый гиперболоид вращения - путем вращения гиперболы вокруг ее действительной оси. [24]

Электрическое поле.| Зависимость коэффициента негладкости от числа жил в наружном повиве многожильного провода. [25]

Среди разнообразных форм электродов особое место в ТВН занимают пары электродов стержень - стержень и стерж: ень - плоскость. Электрическое поле этих электродов обладает наибольшей степенью неравномерности, вследствие чего они широко используются для изучения разряда в резко неравномерных полях. Поле в промежутке стержень - стержень получено из поля промежутка стержень - плоскость на основе принципа зеркального изображения. Для аналитического изучения поля стержней их поверхность выражается уравнением двуполого гиперболоида вращения. [26]

Плоскости, перпендикулярные к продольной оси конуса, пересекают его по эллипсам, центры которых лежат на оси. Но, как мы знаем из п 1 предыдущего параграфа, каждая плоскость первого рода пересекает конус и асимптотические к нему гиперболоиды по семейству гомотетичных эллипсов с общим центром. Таким образом, плоскости, перпендикулярные к продольной оси конуса, пересекают асимптотические к нему гиперболоиды по эллипсам с центрами на этой оси. Это показывает, что продольная ось конуса служит также осью симметрии для всех гиперболоидов, асимптотических к этому конусу, и притом, как легко видеть из тех же соображений, для каждого двуполого гиперболоида - единственной, пересекающей его, а для каждого однополого гиперболоида - единственной, не пересекающей его. [27]

Аналогичную систему уравнений для пространств другим методом исследует И. Малкин в статье К динамике вязкой жидкости ( Известия физ. Малкин дает это обобщение для покоящихся трехосного эллипсоида и однополого и двуполого гиперболоида, а также рассматривает движение по софокусным поверхностям 2-го порядка. [28]

Произвольные аффинные преобразования, переводящие гиперболоид в себя. Из результатов, полученных JB предыдущем п, легко следует, что совокупность дсех аффинных преобразований, переводящих гиперболоид в себя, переводит в себя и все соасимптотические гиперболоиды и совпадает с совокупностью всех эквиаффинных преобразований, переводящих его асимптотический конус в себя. Действительно, лрежде всего, при аффинном преобразовании, переводящем гиперболоид в себя, центр гиперболоида остается на месте, а асимптоты переходят в асимптоты, поэтому асимптотический конус гиперболоида, т.е. конус, образованный асимптотами, проходящими через центр, также переходит в себя. Если мы исходим из эллиптического сечения однополого гиперболоида, то это непосредственно очевидно. Если же мы исходим из точки двуполого гиперболоида, то это следует лз того, что такая точка является центром только одного эллиптического сечения асимптотического конуса, а именно - сечения плоскостью, наклон которой сопряжен к направлению прямой, соединяющей эту точку с вершиной конуса. [29]

Страницы: 1 2