Cтраница 4
Условие (12.2.18) следует из того, что на расстоянии х хкр наклоны прямой О А и кривой sin ( u / U) в точке ы 0 становятся одинаковыми. Если формально продолжать построение для ххкр, то и оказывается неоднозначной функцией времени, что физически абсурдно. Этот разрыв с определенной скоростью распространяется вдоль системы. Искажение формы волны связано с перекачкой энергии из колебания с основной частотой в гармоники. Можно показать, что в начале образуется вторая гармоника, а затем в результате нелинейного взаимодействия появляются волны комбинационных частот. Необходимо отметить, что любая волна независимо от формы, которую она имеет в начале линии ( х 0), на определенном расстоянии принимает треугольную форму. Отсюда следует, что при г - 0 ( 6 - - 0) для компонент высоких частот ( n - voo) будет характерно конечное затухание, что и приводит к убыли амплитуды ударной волны на расстояниях ххкр. Основная диссипация энергии происходит в области разрыва, причем наличие активного сопротивления г ограничивает крутизну переднего фронта ударной волны. [46]
Плоские волны малой амплитуды поглощаются так, что убыль амплитуды ( например, амплитуды звукового давления) на некотором небольшом участке, пройденном волной, пропорциональна величине этого участка. Однако такой простой закон справедлив только для волн малой амплитуды. В волне конечной амплитуды этот коэффициент зависит, кроме того, от величины амплитуды давления и от расстояния до источника. Вблизи от источника, когда искажение формы волны еще мало, коэффициент поглощения волн конечной амплитуды не отличается от коэффициента поглощения волны малой амплитуды; по мере же увеличения расстояния, когда волна набирает искажение - этот коэффициент увеличивается. Наконец, при максимальном искажении, коэффициент поглощения достигает максимальной величины. На этом участке сохраняется также значение ( максимальное) коэффициента поглощения. При дальнейшем увеличении расстояния волна постепенно переходит в волну малой амплитуды и соответственно этому коэффициент поглощения постепенно уменьшается, стремясь к тому значению, которое имеет волна малой амплитуды. Как видно из рис. 237, коэффициент поглощения на некотором расстоянии ( приблизительно 7 - 10 см) достигает максимума ( здесь же наблюдается наибольшее искажение формы волны) и далее уменьшается. [47]
Причина этого заключается в TOIM, что в уравнении движения (IV.2) опущен член, учитывающий внтреннее трение r ( d / dt) ( dv / dx) ( см. § 4, гл. III), которым в реальной маловязкой среде действительно можно пренебречь при анализе распространения синусоидальных возмущений. Однако при искажении формы волны вследствие нелинейных эффектов градиент скорости dv / dx на переднем фронте волны возрастает, а вместе с ним увеличиваются и силы трения. Вблизи х хр 13р градиент dv / dx - оо, и резко возрастающие вязкие потери препятствуют дальнейшему искажению формы волны, которая начинает усиленно поглощаться даже в очень маловязкой среде. [48]
При распространении волны конечной амплитуды в реальной среде увеличение градиента колебательной скорости на переднем фронте волны при ее нелинейном искажении должно сопровождаться усилением диссипативных потерь, обусловленных вязкостью и теплопроводностью среды. Вследствие этого амплитуда волны будет прогрессивно убывать и, следовательно, процесс ее искажения будет затормаживаться. На некотором расстоянии от источника влияние диссипативных процессов должно полностью скомпенсировать влияние нелинейных эффектов, - при этом дальнейшее искажение формы волны прекращается, что принято называть стабилизацией формы волны. На самом деле стабилизации в полном смысле слова не происходит, так как при дальнейшем распространении амплитуда волны продолжает затухать, нелинейные эффекты при этом ослабевают и профиль волны на больших расстояниях начинает сглаживаться вплоть до восстановления синусоидальной формы. Поэтому под стабилизацией формы волны следует понимать ее максимальное искажение, а под расстоянием стабилизации ( л: С1аб) - расстояние, на котором достигается это искажение, от источника. Правда, термин стабильная форма волны в известной мере оправдывается тем, что профиль такой волны изменяется медленнее, чем профиль любой другой волны с теми же амплитудой и частотой. [49]
В предельном сл чае среды без потерь, когда а0 - 0, отношение а / а - оо, что и является критерием образования почти пилообразной волны без разрыва. Опыт показывает, что в реальных маловязких средах на мегагерцевых частотах превышение коэффициента поглощения волн большой амплитуды над значением а0 может достигать нескольких порядков. Для количественного анализа необходимо в нелинейное уравнение движения ( IV. Вообще говоря, при искажении формы волны адиабатичность процесса в ней нарушается, и поэтому для строгого описания распространения волн конечной амплитуды к указанным уравнениям следовало бы добавить еще нелинейное уравнение переноса тепла. Однако, как показывает теория хдараых волн, отклонение от адиабатичности остается малым даже при переходе через фронт ударной волны, в которой изменение энтропии происходит, главным образом, за счет теплопроводности. Это позволяет линеаризовать уравнение переноса тепла, сохранив для анализа распространения волн конечной амплитуды линейное уравнение Навье - Стокса, к которому должен быть добавлен-нелинейный гидродинамический член. [50]
Изменение сопротивления выпрямителя в зависимости от тока вызывает нелинейное падение напряжения на нем в случае увеличения тока. То же самое имеет место и для вольтметров, за исключением приборов с диапазоном измерения приблизительно 20 - 50 в и выше, в которых обычно последовательно с мостиковой схемой ( не с подвижной катушкой) вводится сопротивление с величиной, достаточной для устранения влияния изменений параметров выпрямителей на показания прибора и получения линейной шкалы. Все вышесказанное не является справедливым для низковольтных диапазонов, таких, например, как 1 5 в. При измерениях на диапазонах ниже 1 5 в необходим трансформатор напряжения. Для таких низких значений, где шкала сужается вблизи нулевого положения, искажения формы волны изменяются и показания делаются более близкими к среднеквадратичному значению и не зависят от формы волны, особенно, если шкала близка к квадратичной. [51]
Линейность усилителя следящей системы не играет большой роли. Так как следящая система стремится уменьшить входное напряжение до нуля, то любая вводимая нелинейность имеет второстепенное значение. При увеличении входного напряжения все усилители следящих систем насыщаются обычно на сетках выходного каскада. Когда достигается некоторое выходное напряжение, увеличение входного напряжения сказывается только на искажении формы волны выходной величины и не увеличивает ее максимума. В действительности может иметь место некоторое уменьшение выходного напряжения. Это значит, что при больших рассогласованиях, как при переброске системы из положения, далеко отстающего от согласованного, выходное напряжение усилителя становится постоянным. [52]
Подводя итог, можно сказать, что задача о конечных колебаниях поршня, рассмотренная в этом разделе, может решаться различными методами. Разложение решения по малому числу Маха в эйлеровых координатах приводит к своеобразной трудности: в эйлеровых координатах поршень ( колеблющийся синусоидально в лагранжевых координатах) совершает довольно сложное колебание, что приводит к появлению псевдогармоник даже у источников звука. Это различие между системами координат проявляется, если учитывать в решении члены - М2 и более высокого порядка малости. При решении задач с точностью до членов - М вид решения не зависит от выбора системы координат. Монохроматическая волна, излучаемая поршнем, по мере распространения искажается. В идеальной среде искажение формы волны происходит беспрепятственно вплоть до образования разрыва на конечном расстоянии от поршня. Искажение может быть представлено как возникновение, взаимодействие и рост гармоник в процессе распространения волны. Спектральное представление искажения удобно тем, что многие экспериментальные методы исследования нелинейного искажения основаны на выделении спектральных составляющих из волны конечной амплитуды ( см. гл. [53]
Еще один пример применения поэтапного подхода представляет собой исследование рефракции волн с образованием каустик. Прикаустиче-ская область может быть изучена в плоской постановке: рассматривается наклонное распространение плоской волны в неоднородной среде в приближении нелинейной геометрической акустики; окрестность же каустики будем описывать в линейном приближении. Речь идет о простой каустике, где гармоническое поле описывается функцией Эйри. Приведенная координата z, входящая в гео-метроакустические формулы ( см. гл. Таким образом, даже в рамках геометрической акустики неограниченное возрастание амплитуды поля в прикаустической области не сопровождается неограниченным искажением формы волны из-за нелинейности: приведенное расстояние z остается конечным. В то же воемя дифракционные искажения вблизи каустики очень велики, что и дает основание для применения поэтапного подхода: связь между падающей и отраженной от каустики волнами запишем в линейном приближении. [54]
В измерениях с контролируемым напряжением потенциал электрода изменяют либо скачком, либо линейно. Ток при этом регистрируют с помощью осциллографа или самописца. Наличие в схеме потенцио-стата может привести к некоторому недоразумению, поскольку в действительности потенциал изменяется. Потенциостатом служит электронный прибор, автоматически удерживающий потенциал рабочего электрода ( измеренный относительно независимого электрода сравнения) на определенном уровне безотносительно к току, протекающему между рабочим электродом и противоэлектродом. Показанный на рис. 29 потенциостат используется скорее для контролируемого изменения потенциала, а не для его фиксации. Скачок потенциала, получаемый от генератора сигналов, ( или линейная развертка) подается на контрольную цепь потенциостата, который затем налагает на рабочий электрод волну такой же формы. При этом удается избежать искажения формы волны, вызванного нагрузкой генератора, и, кроме того, быстрее достигается стационарное состояние системы. [55]