Cтраница 2
В этих исследованиях тригонометрическая сумма интерпретируется как след некоторого оператора ( оператора Фробениуса или оператора монодромии), действующего в пространстве сечений специально построенного пучка на алгебраическом многообразии. Таким способом общие тригонометрические суммы строятся с помощью групп когомологий с компактным носителем на подходящем накрытии Артина-Шрайера W некоторого аффинного многообразия V. Тогда оценка тригонометрических сумм может быть сведена к оценке А. В общем случае неизвестно даже существование такой компактификации, однако-эту трудность можно обойти с помощью техники второй части работы Делиня о гипотезе Вейля [186], содержащей широкое обобщение этих гипотез. Это обобщение указывает собственные значения элемента Фробениуса для когомологий с компактным носителем пучков на произвольных многообразиях, в то время как первоначальная формулировка гипотез относится, по существу, к постоянным пучкам на гладком проективном многообразии. Впечатляющие примеры того, как работают обобщения гипотез А. [16]
К сожалению, подход Вейля не был поддержан и вскоре его забыли. В 1965 г. на симпозиуме по общей топологии ( список докладов см. в [41]) в Тирасполе Д.В. Аносов сообщил о доказанной им теореме и сформулировал ряд гипотез ( одна из которых обобщала гипотезу Вейля) о поведении накрывающих для кривых без самопересечений. [17]
В этом разделе мы рассмотрим накрывающие для кривых без самопересечений, которые имеют асимптотические направления. Сначала мы рассмотрим примеры кривых с неограниченным отклонением. При этом случаи рационального и иррационального асимптотических направлений рассматриваются отдельно, так как между ними имеется принципиальная разница. Как заметил Аносов [3], теорема 1.4 справедлива не только на торе и бутылке Клейна, но и на любой замкнутой поверхности отрицательной эйлеровой характеристики. Другими словами, справедлива следующая теорема, которая применялась в [3] для унифицирующего доказательства теоремы и гипотезы Вейля одновременно. [18]