Cтраница 2
Обобщенной теоремы Стокса В разделе 4 Знли рассмотрены диффетэен-аяальнне формы и операция внешнего дифференцирования. [16]
В первой из этих работ изучаются так называемые дифференцирования алгебр Ли и, особенно, внешние дифференцирования. Во второй рассматриваются дифференциальные уравнения, определяющие автоморфизмы группы преобразований, и дается обобщение одной теоремы Ли о них. [17]
На многообразии, не наделенном никакой дополнительной структурой, существует как обобщение элементарных операций дифференцирования только внешнее дифференцирование форм. Если векторным полем задан локальный поток, то он определяет производную Ли произвольных тензорных полей. [18]
Тогда линейное отображение 8, переводящее К в 0, а х в 2, и является внешним дифференцированием. [19]
Ли D ( М) векторных полей на М или, что эквивалентно, если идеал, порожденный пространством L ( л) в алгебре Я ( Л /) дифференциальных форм, замкнут относительно оператора внешнего дифференцирования. [20]
В результате внешнего дифференцирования линейной формы а получаем внешнюю дифференциальную форму второй степени, или 2-фор-му. Дальнейшее внешнее дифференцирование дает формы более высокой степени. [21]
Заметим, что форма ш линейна и поэтому ч / - постоянное отображение. Применим локальную формулу внешнего дифференцирования из предложения 5 настоящего параграфа и сразу получим наше утверждение. [22]
Удобно считать, что функция представляет собой дис ференциальную форму степени нуль. В этом параграф мы опишем внешнее дифференцирование r - форм; при этс удобно случай функций рассмотреть отдельно. [23]
У него очень интересные замыслы и есть некоторые результаты в направлении, которое меня давно интересовало: подобно тому, как верхние гомологии можно получить переходом от непрерывного к дискретному, из внешнего дифференцирования кососим-метрических тензоров получить новые топологические инварианты из различных других известных тензорных образований. Пока получилось, правда, лишь нечто, оказавшееся эквивалентным инвариантам, уже придуманным недавно Понтрягиным, и нечто, вроде многомерных обобщений фундаментальной группы, не поддающееся удобному изучению и использованию. [24]
При вырождении степени больше 1 число соотношений возрастает. В этом случае дифференциальному идеалу I ( L) лагранжева многообразия L функции Беллмана-Ляпунова принадлежат все р-формы, п - q 1 р п, полученные из формы внешнее произведение дифференциалов сопряженных координат удалением части сомножителей, а также формы, полученные из них операциями подстановки гамильтонова векторного поля и внешнего дифференцирования. [25]
Условие замкнутости, которое я так и не сформулировал, позволяет выразить коэффициенты со через со. Адекватным инструментом для выполнения вычислений, неизбежно возникающих при таком подходе, является си-исчисление, полностью разработанное Картаном. Оно имеет дело с полилинейными дифференциальными формами, их умножением и внешним дифференцированием; это исчисление играет важную роль в различных областях математики, включая топологию. [26]
Внешнее умножение и внешнее дифференцирование Картана ( цит. [27]
Мы дадим обобщение локальной теореме существования, известное под названием теоремы Фробениуса. Доказательство будет сведено к стандартному случаю, изученному в гл. Читатель заметит, что для понимания доказательства необходимо знать только определение скобки от двух векторных полей. Удобно также привести формулировки в терминах дифференциальных форм, для понимания которых необходимо знать лишь локальное определение внешнего дифференцирования. Однако мы с самого начала доказываем эквивалентность условий на дифференциальные формы и условий на векторные поля и в дальнейшем не возвращаемся к этому вопросу. [28]
Почти комплексные структуры и Э - операгоры. Почти комплексной СТРУКТУРОЙ на М называется изоморфизм J: ГМ - ТМ. J мы мовем определить обычным образом комплексное начные дифференциальные формы типа ( р, ) на М и сопоставить оператору внешнего дифференцирования d операторы 3 и 30 переводящие формы типа ( р, ср в формы типа ( р i, с) и ( р, cj, 1) соответственно. [29]