Cтраница 3
Напомним, что третье предельное распределение экстремальных значений называется также распределением Вейбул-ла - Гнеденко. [31]
Кроме того, применение метода последовательно-одиночного размещения в рассматриваемой задаче позволяет довольно легко определять значения локальных экстремумов. Это обстоятельство дает возможность использовать предельное распределение экстремальных значений ( закон Вейбулла - Гнеденко) для оценки перспективности поиска на специальным образом формируемых множествах. [32]
По Ланге и Шейлю скорость зарождения центров кристаллизации возрастает с увеличением переохлаждения и уменьшением предварительного перегрева расплава. В работах [130, 173] представлены также, результаты этих исследований на вероятностной бумаге закона Вейбулла - Гнеденко. [33]
В первую очередь нам хотелось бы выразить глубокую благодарность основоположникам советской школы математической теории надежности-профессорам МГУ Борису Владимировичу Гнеденко, Юрию Константиновичу Беляеву и Александру Дмитриевичу Соловьеву, которым мы обязаны едва ли не всеми достоинствами нашей книги. Их строгая, но доброжелательная критика позволила нам существенным образом улучшить подготовленную рукопись. Мы с глубокой благодарностью вспоминаем также многочисленные беседы с профессором Яковом Борисовичем Шором, советы которого всегда помогали нам находить удобную для читателя форму изложения материала. [34]
Проведен теоретический анализ вида функции распределения времени ожидания первого центра кристаллизации при гомогенной и гетерогенной нуклеации в переохлажденных расплавах и пересыщенных растворах. Показано, что для гомогенной нуклеации Функция распределения при постоянном пересыщении подчиняется либо экспоненциальному закону, либо асимптотическому распределению Вейбулла - Гнеденко. Статистика начальной стадии образования центров кристаллизации в расплавах и растворах, содержащих гетерогенности, в общем случае описывается суперпозицией указанных соотношений. [35]
В 1933 г. Колмогоров высказал гипотезу, что если суммируются примерно равноправные независимые случайные величины, то при увеличении числа слагаемых их распределения будут приближаться к безгранично-делимым законам и, следовательно, если распределения последовательных сумм будут сходиться к предельному, то этот предельный закон обязательно должен быть безгранично-делимым. В предположении, что слагаемые имеют конечные дисперсии, а дисперсии последовательных сумм ограничены, эту гипотезу доказал ученик Колмогорова Г. М. Бавли ( 1908 - 1941) в 1934 г. В полном объеме эта гипотеза была доказана Хинчиным с привлечением довольно громоздких аналитических средств через три года. Отправляясь от этой работы, Гнеденко построил теорию суммирования независимых случайных величин, основанную на сравнительно легко доказываемом факте: если суммируются предельно постоянные независимые слагаемые и функции распределения соответствующих центрированных сумм сходятся к некоторому предельному, то можно построить последовательность безгранично-делимых случайных величин, функции распределения которых сближаются с функциями распределения сумм. [36]
В результате исследования статистических материалов было установлено, что эмпирические распределения износа кулачков являются полимодельными. Причина заключается в том, что в период первого, второго и третьего технических обслуживании обнаруживается наибольшее число дефектов и в гистограммах распределения наблюдаются максимумы. Поэтому эти распределения не описываются стандартными законами ( нормальным, Эрланга, Вейбулла - Гнеденко) и возникает вопрос об аппроксимации их другими функциями. [37]
Если ( /) const, то принимают гипотезу об экспоненциальном законе. Если X ( t) имеет минимум в середине интервала, то закон распределения нормальный. Если b ( t) убывает или возрастает с увеличением t, то распределение подчиняется закону Вейбулла - Гнеденко. [38]
В настоящей главе мы ставим своей нелью изложение некоторых исследований последних лет, посвященных предельным теоремам для сумм независимых случайных величин. При этом мы ограничиваемся случаем, когда слагаемые имеют конечные дисперсии. Рассмотрение задачи без этого ограничения требует более громоздких вычислений; для ознакомления с ее решением мы отсылаем читателя к упоминавшейся монографии Гнеденко и Колмогорова. [39]
В настоящей главе мы ставим своей целью изложение некоторых исследований, посвященных предельным теоремам для сумм независимых случайных величин. При этом мы ограничиваемся случаем, когда слагаемые имеют конечные дисперсии. Рассмотрение задачи без этого ограничения требует более громоздких вычислений; для ознакомления с ее решением мы отсылаем читателя к упоминавшейся монографии Гнеденко и Колмогорова. В качестве простого следствия излагаемых нами общих теорем мы получим упомянутое нами необходимое и достаточное условие сходимости функций распределения сумм к нормальному закону. [40]
Существует огромное количество различных источников, но ни один из них нельзя счесть удовлетворительным. В монографии Феллера ( [148], том II) материал по устойчивости представлен, пожалуй, в самом полном объеме, однако он разбросан по всей книге, и порой очень трудно отыскать необходимые сведения. Книга Лампер-ти [284] может послужить неплохим введением в курс дела. Рекомендую также и работу Гнеденко и Колмогорова [172], несмотря на ее почтенный возраст. [41]
Крзлинский - сосед и один из совладельцев Комаровского дома Владимир Иванович Козлинский, театральный художник. Наташа - Наталья Константиновна Гнеденко. [42]
Однако первый, строго доказанный результат об асимптотическом разложении функции распределения Fn при выполнении так называемого условия Крамера (20.1) ( см. гл. Крамером с использованием асимптотического разложения характеристической функции Р, которое также принадлежит ему ( см. Крамер ( 1, 3 ], гл. Теоремы 8.4 - 8.6 уточняют ( и обобщают на Rk) результаты Крамера [3], гл. Существует много различных усилений классических результатов, с которыми можно, например, ознакомиться в работах Эссе-ена [ 1, Гнеденко и Колмогорова [1] и Петрова [ 1J в одномерном случае; Рао [1], Бикялиса [3, 6] и Бхаттачарии [3] - в многомерном. [43]
К сожалению, ни Линнику, ни Колмогорову не пришлось прочитать эту книгу, но в 1987 г. в Москве я смог подарить экземпляр книги на английском языке профессору Гнеденко, который был со мной очень любезен. [44]