Cтраница 2
В случае, когда группа G является векторной группой ( над простым полем), приведенное матричное представление для голоморфа превращается в обычное матричное представление ( ср. [16]
Пусть дальше ЗД ЭД ( Я) - группа всех автоморфиз-мов голоморфа Я, Ф - - нормализатор подгруппы BdH и Я - группа внутренних автоморфизмов голоморфа. Рассмотрим некоторые общие факты, относящиеся к этим группам. При этом группа G - B не обязательно коммутативна. [17]
Милса [4] рассматриваются условия распадения голоморфа Я в прямое произведение собственных подгрупп. Показывается, что это возможно тогда и только тогда, когда группа G совершенна или распадается в прямое произведение собственных характеристических подгрупп. Здесь же указаны условия распадения группы Я в прямое произведение конечного числа неразложимых множителей. [18]
Всякое отображение и: Г - G, удовлетворяющее отмеченному условию, называется скрещенным гомоморфизмом. Понятие скрещенного гомоморфизма полезно при рассмотрении группы автоморфизмов голоморфа, и мы посвятим ему еще несколько замечаний. [19]
Рассмотрим М и Н как подгруппы голоморфа S ( q х) посредством полной группы автоморфизмов. Согласно лемме 8 М и Н сопряжены в голоморфе. [20]
Изоморфность групп ( а) и ( Ь) вытекает из предложения 5.8 и определения 5.9. Изоморфность групп ( Ь) и ( с) обусловлена тем общим фактом, что для рисовской матричной полугруппы 8 Л ( е; I, Л; Р) мы имеем Hs s AutS. Это вытекает из следствия 2.12, так как в случае G е голоморф полугруппы S совпадает с Hs и является группой автоморфизмов полугруппы S. Заметим также, что при G е все эти автоморфизмы внутренние. [21]
Заметим, что еще Миллером ( 1909 г.) было доказано, что голоморф конечной абелевой группы нечетного порядка всегда является совершенной группой. [22]
Только что мы видели, что если в абе-левой группе G отображение х - х2 есть автоморфизм, то характеристичность G в Н ( G) равносильна совершенности голоморфа. [23]
Доказательство этой теоремы в общем случае сложно и занимает много места. Вначале показывается, что такая группа разрешима, и потом отдельно рассматривается разрешимый случай. Через Н обозначим относительный голоморф G и а. Действительно, если Р - силовская подгруппа в Я, содержащая а, то Р П G - нормальный делитель в Р, и если этот нормальный делитель отличен от единицы, то в нем имеются неподвижные относительно а элементы, отличные от единицы. [24]
Группа Е вместе с L2 ( 7) порождает подгруппу F группы AS порядка 8 - 168 и, следовательно, индекса 15 в AS. Поскольку группа Lg ( 7) порождена а, р, v и транзитивна на П, группа F порождена элементами а, р, v яо - Но ( о чудо. Такое поведение голоморфа элементарной абелевой группы исключительно. [25]
При этом вначале мы переобозначим некоторые подгруппы. Вызвано это нарастающими здесь трудностями с многоэтажностью в обозначениях. Через Я Я ( С) по-прежнему будем обозначать голоморф группы G, а саму группу G как подгруппу в Н теперь обозначим через Я. Существует автоморфизм второго порядка т 0, переводящий Б в С и определяющий эквивалентность внутренних пар ( В, А) и ( С, А), причем Н В А С А. [26]