Cтраница 2
Множество X порождающих булевой алгебры В называется свободным, если любое отображение р: Х - - С в произвольную булеву алгебру С можно продолжить до гомоморфизма булевой алгебры В в С. В этом случае В называется свободной над X. Свободная булева алгебра - это булева алгебра, имеющая свободное множество порождающих. [16]
Полная булева алгебра В называется свободной полной булевой алгеброй над множеством X своих полных порождающих, если каждое отображение р: Х - - С в произвольную полную булеву алгебру С можно продолжить до полного гомоморфизма булевой алгебры В в С. [17]
Гомоморфизмы булевых алгебр - это, как мы знаем, то же самое, что и гомоморфизмы соответствующих булевых колец. Это же относится и к конгруэнциям. Поэтому конгруэнцию булевой алгебры можно задать идеалом булева кольца. От идеалов булевых колец мы затем перейдем к идеалам булевых алгебр и свяжем последние с гомоморфизмами булевых алгебр. [18]
Теперь мы видим, что рассмотрение гомоморфизмов булевых алгебр можно свести к рассмотрению непрерывных отображений вполне несвязных компактных пространств. [19]
Покажем, что понятие разложения единицы по существу содержится в более общем понятии гомоморфизма. Точнее говоря, с каждым разложением единицы однозначно связан некоторый гомоморфизм булевой алгебры M ( - t 00) ( см. стр. N 92) в данную алгебру, и наоборот, всякий такой гомоморфизм порождает разложение единицы. [20]
Отметим при этом, что мы не можем утверждать, что каждый сохраняет структуру булевой алгебры У. Как мы знаем, переход / - / ( в) определяет гомоморфизм булевых алгебр У - F, если элемент и отвечает элементарной формуле. Так как - 1и йе обязательно определяется элементарной формулой, то переход / - / ( 1м) уже не обязательно гомоморфизм. В этом причина того, что - не обязательно автоморфизм алгебры У. [21]
Каждое отображение 6Т: RelT ( 29) - - - RelT ( S)) есть гомоморфизм булевых алгебр. Так как ST есть декартова степень булевой алгебры КеГ ( 25) и бт определяется здесь покомпонентно, то и бт: & - - т есть гомоморфизм булевых алгебр. Аналогично заключаем, что и 6: ОТ - ST - гомоморфизм булевых алгебр. [22]
Каждый эндоморфизм атомной ( или полной) булевой алгебры В полон тогда и только тогда, когда В конечна ( [18], с. Пусть В - булева алгебра и для каждого аеВ пусть ф ( а) обозначает множество всех атомов, содержащихся в а. Тогда ф является полным гомоморфизмом булевой алгебры В в алгебру всех подмножеств множества всех атомов из В. [23]
Каждое отображение 6Т: RelT ( 29) - - - RelT ( S)) есть гомоморфизм булевых алгебр. Так как ST есть декартова степень булевой алгебры КеГ ( 25) и бт определяется здесь покомпонентно, то и бт: & - - т есть гомоморфизм булевых алгебр. Аналогично заключаем, что и 6: ОТ - ST - гомоморфизм булевых алгебр. [24]
Гомоморфизмы булевых алгебр - это, как мы знаем, то же самое, что и гомоморфизмы соответствующих булевых колец. Это же относится и к конгруэнциям. Поэтому конгруэнцию булевой алгебры можно задать идеалом булева кольца. От идеалов булевых колец мы затем перейдем к идеалам булевых алгебр и свяжем последние с гомоморфизмами булевых алгебр. [25]