Cтраница 2
Напомним, что пространства X и У называют гомотопически эквивалентными, если существуют такие непрерывные отображения F: X - Y я G: Y - X, что FoG - idy и G F - idxi где idx и idy - тождественные отображения пространств X и Y, а символ - означает гомотопность отображений. [16]
Современный подход состоит п отказе от понятия кривой и в использовании вместо пего того объекта, который мы назвали параметрическим уравненном кривой. Определение гомотопности параметрических уравнений состоит в следующем. [17]
Это семейство, называемое гомотопи-е и, связывающей f с g, является путем в пространстве Ф ( Х, У) всех непрерывных отображений Х - У, связывающим точку / с точкой g, так что гомотопность отображений является специализацией на случай пространств отображений общего отношения быть связанным непрерывным путем. Поэтому, в частности, отношение гомотопности является отношением эквивалентности, а соответствующие классы ( они наз. F ( x, t) ft ( x), определенное формулой F: XX [ О, 1 ] - - У ( это отображение также часто наз. [18]
Эти функциональные пространства понадобятся нам в § 6 для изучения отношения гомотопности отображений алгебр. Через У обозначается категория симп-лициальных множеств. [19]
Отображения /, g: X - - Y мы будем называть финитно гомотопными, если для любого конечного клеточного пространства Z и любого отображения Л: Z - - Х отображения / о h и g h гомотопны. Отношение финитной гомотопности является, очевидно, отношением эквивалентности. [20]
Отображения / и g называются гомотопными ( / - g), если существует непрерывное отображение F: Xxl - - Y такое, что F ( x, 0) f ( x) и F ( x, l) g ( x) в X. Легко показать, что гомотопность отображений есть отношение эквивалентности, разбивающее множество всех непрерывных отображений на попарно непересекающиеся классы, называемые гомотопическими классами. [21]
Очевидно, что семейство ft тогда и только тогда непрерывно, когда отображение / многообразия N X I непрерывно. Если отображения / 0 и f1 связаны между собой гладкой деформацией, то они считаются гладко гомотопными между собой. Вполне очевидно, что отношение гладкой гомотопности отображений рефлексивно и симметрично. Однако транзитивность этого отношения не очевидна и требует доказательства. [22]
ГОМОТОПИЯ, гомотопность двух непрерывных отображений /, g: Х - у У, - формализация интуитивного представления о деформируемости одного отображения в другое. X - - У, непрерывно зависящих от параметра i. О, 1 ] произведена здесь лишь по соображениям технич. Это семейство ( называемое гомотопна и, связывающей / с g) является путем в пространстве lf ( X, Y) всех непрерывных отображений Х - - У, связывающим точку / с точкой g, так что гомотопность отображений является специализацией на случай пространств отображений общего отношения быть связанным непрерывным путем. Поэтому, в частности, отношение гомотопности является отношением эквивалентности, а соответствующие классы ( они называются гомотопич. Однако по традиции принято поступать иначе. F: X X [0, 1] - yY, определенное формулой F ( x, t) ft ( x) ( это отображение также часто наз. [23]
ГОМОТОПИЯ, гомотопность двух непрерывных отображений /, g: Х - у У, - формализация интуитивного представления о деформируемости одного отображения в другое. X - - У, непрерывно зависящих от параметра i. О, 1 ] произведена здесь лишь по соображениям технич. Это семейство ( называемое гомотопна и, связывающей / с g) является путем в пространстве lf ( X, Y) всех непрерывных отображений Х - - У, связывающим точку / с точкой g, так что гомотопность отображений является специализацией на случай пространств отображений общего отношения быть связанным непрерывным путем. Поэтому, в частности, отношение гомотопности является отношением эквивалентности, а соответствующие классы ( они называются гомотопич. Однако по традиции принято поступать иначе. F: X X [0, 1] - yY, определенное формулой F ( x, t) ft ( x) ( это отображение также часто наз. [24]
Рассмотрим вкратце классификацию гладких автоэквивалент-ностей специального G-многообразия М над X. А, которые индуцируют одну и ту же кромку подпространства В в X. Доказательство первой части теоремы единственности 2.6 инвариантных трубчатых окрестностей предусматривает изотопию между а и тб, которая индуцирует тождественное отображение на X, где 6 -изоморфизм векторных расслоений. Так как 6 должно сохранять нормы, то оно представляет собой изоморфизм ортогональных расслоений. Это заменяет рассуждение о гомотопности с 5-эквивалентностью в доказательстве V.7.I. Остаток доказательства очевиден, и его можно опустить. Снова, классификация в гладком случае аналогична классификации в топологическом случае. Обозначив через я0 Diffeox ( M) множество классов гладкой изотопии над X автоэквивалентностей многообразия М над X, мы получим следующую теорему. [25]