Cтраница 1
Производная алгебра л - бой конечномерной разрешимой алгебры Ли характеристики 0 нильпотентна. [1]
Производная алгебра алгебры g7 совпадает с производной алгеброй от g ( том II, теорема 13 из § 14 гл. II); отсюда следует, что g - идеал алгебры g7 и что фактор-алгебра g7 / g - абе-лева. Тогда из предложения 6 § 1 получаем, что алгебра g7 разрешима. [2]
Тогда производная алгебра алгебры g - алгебраическая. [3]
Радикал производной алгебры конечномерной алгебры Ли характеристики О нильпотентен. [4]
Если g - производная алгебра алгебры Ли а, то факторалгебра g / g коммутативна. Обратно, любой идеал §, для которого факторалгебра g / f коммутативна, содержит производную алгебру. [5]
Напомним, что производной алгеброй алгебры Ли д называют векторное пространство, порожденное элементами вида [ X, У ] при X и К из д; это наименьший идеал Ь алгебры д, для которого фактор-алгебра д / Ь абелева. [6]
Идеал п содержит пересечение радикала и производной алгебры g; он состоит из всех элементов X радикала алгебры g, для которых ad X нильпотентен. [7]
Производная алгебра алгебры g7 совпадает с производной алгеброй от g ( том II, теорема 13 из § 14 гл. II); отсюда следует, что g - идеал алгебры g7 и что фактор-алгебра g7 / g - абе-лева. Тогда из предложения 6 § 1 получаем, что алгебра g7 разрешима. [8]
Редуктивные алгебры - это такие алгебры, у которых производные алгебры полупросты; они изоморфны произведениям абелевых и полупростых алгебр. Важность их связана с тем, что алгебры Ли компактных групп всегда редуктивны, но не всегда полупросты; кроме того, алгебра Ли полной линейной группы - редуктивная, но не полупростая алгебра. Теорема Вейля отчасти обобщается на случай редуктивных алгебр Ли: представление редуктивной алгебры Ли полупросто тогда и только тогда, когда оно индуцирует полупростое представление центра алгебры. С другой стороны, для того чтобы алгебра Ли g над полем характеристики 0 была редуктивна, необходимо и достаточно, чтобы она обладала по меньшей мере одним точным полупростым представлением. Отметим существенную разницу между случаем алгебр Ли и случаем ассоциативных алгебр: в последнем всякая алгебра, допускающая точное полупростое представление, сама полупроста и, следовательно, все ее представления полупросты. [9]
Таким образом, алгебра р ( д) совпадает со своей производной алгеброй и, следовательно, является алгебраической алгеброй ( том II, гл. [10]
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 4.3. Пространство Lr, введенное в рассмотренном примере 4.1, называется производной алгеброй. [11]
Алгебра gt ( V) всех эндоморфизмов пространства V редуктивна ее центр состоит из скалярных кратных тождественного автоморфизма / пространства V ее производной алгеброй является алгебра 1 ( V) всех эндоморфизмов пространства V, след которых равен 0; алгебра 1 ( 10 полупростая. [12]
Тогда следующие три условия эквивалентны друг другу, а) алгебра g редуктивна б) присоединенное представление алгебры g полу простое, в) производная алгебра Sg алгебры g полу простая. [13]
II), и производная алгебра алгебры g совпадает с производной алгеброй алгебры р ( д) ( том II, теорема 13 из § 14 гл. [14]
Постройте прямую сумму векторных пространств М L 4 - Fp и превратите ее в алгебру Ли, где Fp - абелева подалгебра, умножение в L - обычное и действие подалгебры L на Fp задано. Проверьте, что алгебра М разрешима, но ее производная алгебра ( - х Fp) не нильпотентна. [15]