Cтраница 2
Резюмируя, можно сказать: мы показали, что из булевой алгебры J5, П, и отношения конгруэнтности Ф на ней можно получить булеву алгебру 5 / &, П, , элементы которой - 0-классы эквивалентности и операции, на которой определяются в терминах первоначальной алгебры при помощи представителей классов эквивалентности. Если О отличается от отношения равенства в fi, то производная алгебра существенно отличается от исходной. Соотношение между исходной и производной алгебрами описано после приводимого ниже примера. [16]
А на месте; итак, [ а, ш ] cz lit, и из предложения 7 следует, что алгебра а редуктивна. Алгебра g есть прямая сумма своего центра j и своей производной алгебры S5g ( предложение 1 из § 4 гл. IV), и ясно, что каждый оператор из Г отображает каждое из пространств j и Sg в себя. [17]
II), и производная алгебра алгебры g совпадает с производной алгеброй алгебры р ( д) ( том II, теорема 13 из § 14 гл. [18]
Вначале установите, что любой гомоморфный образ алгебры L также совпадает со своей производной алгеброй. Воспользовавшись этим фактом, еще раз докажите, что алгебра 5l ( 2, F), char F 2, - простая. [19]
Если g - производная алгебра алгебры Ли а, то факторалгебра g / g коммутативна. Обратно, любой идеал §, для которого факторалгебра g / f коммутативна, содержит производную алгебру. [20]
Пусть g - алгебра Ли над полем характеристика 0; тогда она допускает по меньшей мере одно разложение Леви. Любые два разложения Леви алгебры получаются друг из друга применением некоторого автоморфизма алгебры g вида exp ad N9 где N принадлежат пересечению производной алгебры от g с ее радикалом. [21]
Размерность пространства g / gx равна 1 ( следствие 2), и, следовательно, оно является абелевой алгеброй; но тогда производная алгебра от g содержится в дх. [22]
В ассоциативной алгебре сумма конечного числа нильпотентных идеалов является нильпотентным идеалом, а сумма произвольного множества нильпотентных идеалов является, вообще говоря, локально нильпотентным идеалом. Конечномерная алгебра яад полем нулевой характеристики, обладающая базисом, состоящим из нильпотентных элементов, нильпотентна. Если алгебра удовлетворяет полиномиальному тождеству степени d, то всякое ее нильпотентное подкольцо в степени [ d / 2 ] принадлежит сумме нильпотентных идеалов. Производная алгебра конечномерной алгебры Ли над полем нулевой характеристики нильпотентна. Нильпотентные подалгебры, совпадающие со своим нормализатором ( п о д-алгебры Картана), играют существенную роль в классификации простых алгебр Ли конечной размерности. Ли обладает внешним автоморфизмом. [23]
Очевидно, что 0 ( подпространство, состоящее только из нулевого вектора) и сама алгебра L являются идеалами в L. Из тождества Якоби немедленно следует, что Z ( L) действительно является идеалом. Отметим, что алгебра L абелева, если и только если Z ( L) L. Другой важный пример - производная алгебра, обозначаемая через [ L, L ] и аналогичная коммутанту в группе. Она состоит из всех линейных комбинаций коммутаторов [ х, у ] и, очевидно, является идеалом. [24]