Cтраница 3
Я предпочитаю называть ее так [ абстрактной алгеброй ], а не современной алгеброй, потому что она, несомненно, будет жить долго и в конце концов станет древней алгеброй. [31]
Настоящая книга имеет своей целью способствовать изучению основных исходных положений, результатов и методов современной алгебры. В ряду алгебраических дисциплин, составляющих в совокупности то, что в последнее время часто стали называть общей алгеброй ( по-видимому, лучше было бы говорить: общей теорией алгебраических действий), теория групп занимает бесспорно первое место как наиболее развитая из этих дисциплин. Естественно начинать изучение современной алгебры именно с теории групп. Однако следует учитывать современное положение дел в алгебре, где теория групп представляется как раздел, близко соприкасающийся с рядом других алгебраических теорий. Что касается исходных положений даже самой теории групп, то наиболее естественно они могут быть приняты и усвоены в связи с идеями общего характера, выходящими за пределы собственно теории групп. Этими соображениями определяются рамки, ограничивающие материал данной книги. Здесь изучаются начальные разделы теории групп, излагаемые на базе общих понятий, что делает одновременно и более естественными основы самой теории групп и служит подходящим фундаментом для изучения иных алгебраических дисциплин. [32]
Если бы был жив Аристотель и имел бы возможность в течение 20 лет изучать современную алгебру, то он, несомненно, предпочел бы по-прежнему называть числами только натуральные числа больше единицы. [33]
Понятие отображение - одно из основных понятий математит ки - играет большую роль в современной алгебре и многих омежны дисмплинах в которых алгебраический аппарат находит применение. [34]
Нет ничего удивительного в том, что Галуа в наши дни считается одним из основателей современной алгебры. Ведь это именно он разработал концепцию групп ( и дал им название), имеющую огромную важность в современной науке. О работах Галуа можно узнать в книге [16], которая близко придерживается подхода Галуа к теории уравнений. [35]
Алгебра в новом понимании, то есть то, что стали называть в двадцатые годы современной алгеброй, а теперь уже снова называют просто алгеброй, стала самостоятельной дисциплиной в течение нескольких лет. Нетер ( 1882 - 1935) совместно со своими учениками в Геттпнгене строит общую теорию коммутативных колец, теорию идеалов и модулей над кольцами, подвергает систематическому изучению основные проблемы некоммутативной алгебры. Все-упомянутые алгебраические структуры изучаются на основе определяющих их аксиом, независимо от природы входящих в них элементов. Программно воспринимались уже самые названия работ Нетер: Абстрактное построение теории идеалов в алгебраических числовых полях ( 1923), Некоммутативная алгебра ( 1933) и др. В атом направлении интенсивно развиваются исследования советских алгебраистов, группирующихся в двадцатые годы вокруг О. Ю. Шмидта ( 1891 - 1956), известного также как полярный исследователь и геофизик, молодых голландских, американских, французских математиков. Венль п другие математики одного поколения с Негер, но опа до своей кончины остается признанным главой алгебраистов. [36]
Эта галиматья ( се gachis) содержала ни много ни мало теорию групп, ключ к современной алгебре и к современной геометрии. В известной мере эти идеи былп предвосхищены Лагранжем и итальянцем Руффини, но Галуа имел уже полное представление о теории групп. [37]
В геометрии аналитической и дифференциальной широко используются методы координат, которые дают возможность применять хорошо развитый аппарат современной алгебры к решению задач в определенно выбранной, подчас случайно, системе координат. [38]
Однако даже эти относительно простые языки программирования значительно превосходят по сложности другие системы, успешно изучавшиеся методами современной алгебры. [39]
Именно в это время алгебра начинает превращаться из науки о решении алгебраических уравнений в ту абстрактную, или современную алгебру, какой она остается в паши дни, тогда как проблема решения алгебраических уравнений с вещественными или комплексными коэффициентами естественно включается в теорию функций комплексного переменного: там она становится частным случаем проблемы определения нулей целых функций ( их распределения на комплексной плоскости, их вычисления) и обращения функциональной зависимости. Можно сказать, что вся алгебра перестраивается по образцу теории групп, становясь учением об ( алгебраических) операциях, определенных над элементами произвольной природы, п исследует в самом общем виде такие множества элементов с определенными па нпх операциями, иначе говоря, изучает алгебраические структуры. Но, в то время как целью Вебера была общая, от числового значения элементов независимая трактовка теории Галуа, для нас интерес сосредоточивается на самом понятии поля. [40]
Книга предназначена для студентов старших курсов технических вузов, аспирантов и научно-технических работников, желающих более глубоко изучить основы современной алгебры и познакомиться с применением ее основных понятий и структур при исследовании технических систем. [41]
Ленга призвана служить в основном тем же целям, что и изданная у нас двадцать лет назад и ставшая теперь библиографической редкостью двухтомная Современная алгебра Ван дер Вардена. Об этой преемственности, как и о содержании всей книги, достаточно подробно говорится в предисловии автора. Читатель, несомненно, почувствует, что умело подобранный свежий материал, а также язык и стиль изложения вполне созвучны алгебре шестидесятых годов - обстоятельство особенно ценное для молодых математиков. [42]
Французский математик Эварест Галуа, проживший всего 22 года, успел разработать теорию алгебраических уравнений высших степеней с одним неизвестным и тем самым положил начало развитию современной алгебры. [43]
В связи с этим в научно-технической литературе возникло новое направление - прикладная алгебра, которая, во-первых, служит учебным целям, знакомя читателей с основными понятиями современной алгебры, и, во-вторых, занимается алгебраической и алгоритмической формализацией технических задач. Установление взаимосвязи между структурами, возникающими в области техники и в области математических знаний, и является, собственно, наиболее существенной задачей для инженера, занятого построением и завершением инженерной теории, лежащей в основе данной области технических знаний. [44]
Опустив в этом определении требование 10 о существовании частного и требований 7, 8 коммутативности и ассоциативности умножения, получим определение понятия кольца - одного из важнейших понятий современной алгебры. [45]