Cтраница 4
Тот, кто ныне повторил бы подход Клейна к элементарной математике с точки зрения высшей, сделал бы это на гораздо более низком уровне, ближе к школьной математике. Благодаря развитию абстрактной алгебры сухие понятия группы и поля претерпели такой научный расцвет, что могли бы оплодотворить школьную математику, и оказались настолько близки к ней, что учитель может даже увязать с ними свое преподавание; примеры, с помощью которых можно ввести и проиллюстрировать эти понятия, стали настолько проще, что для их научного обоснования вовсе не требуется проникновение в дебри теории Галуа. Весьма характерно, что об идеях аксиоматики, о таких областях, как теория множеств, в оригинальном изложении Клейна не было и речи. [46]
В учебниках абстрактной алгебры это делается со столь высокой точки зрения, что какая бы то ни было связь со школьной алгеброй отсутствует. [47]
Что такая общая теория полей возникла тогда, когда был накоплен, в более частных исследованиях, соответствующий конкретный материал, показывает сноска Штейница к процитированному месту: К этим общим исследованиям особым стимулом для меня была Теория алгебраических чисел Гензеля1), исходным в которой является поле р-адических чисел - поле, которое нельзя отнести ни к функциональным, н к числовым полям в обычном смысле этих терминов. Так новая алгебра ( абстрактная алгебра) естественно вырастала из теоретико-числовых и арифметических исследований, составлявших одно из главных направлении в математике XIX века и уходящих своими корнями в ту наивную проблему решения алгебраических уравнений, с многовековой историей которой читатель уже знаком. [48]
Мощь и красота идей и методов современной абстрактной алгебры общепри-знаны, а сфера ее применения расширяется столь стремительно, что иногда поговаривают об алгебраической чуме, охватившей не только математику, но и другие науки. Тем не менее основы абстрактной алгебры известны далеко не так широко, как они того заслуживают. Одна из причин этой несколько парадоксальной ситуации кроется в том, что в отличие от специальной литературы, рассчитанной на профессионала, учебная и в особенности научно-популярная литература по абстрактной алгебре чрезвычайно бедны. [49]