Cтраница 2
Поэтому размерность Гельфанда - Кириллова алгебры не превосходит высоты и в силу теоремы Ширшова для Pi-алгебр ограничена. Однако для представимых алгебр ( а стало быть, по теореме Ке-мера и для относительно свободных) верна и обратная оценка. И в этом случае размерность Гельфанда - Кириллова равна существенной высоте. [16]
Доказана локальная теорема, сводящая вопрос о существовании такого представления на случай алгебр с конечным числом образующих, и указаны некоторые условия для существования изоморфного представления в случае конечного числа образующих. Показано, далее, что изоморфно представимая алгебра с конечным числом образующих не может быть изоморфной никакой своей истинной фактор-алгебре. [17]
Назовем ф-алгебру R представимой, если для подходящего п она вложима в алгебру Мп ( С), где С - коммутативное кольцо. Если Ф - поле, то каждая конечно порожденная представимая алгебра финитно ап-лрхжсимируема. Если поле бесконечно, то размерности аппроксимирующих алгебр могут быть выбраны ограниченными в совокупности. [18]
Назовем Ф - алгебру R представимой, если для подходящего п она вложима в алгебру Мп ( С), где С - коммутативное кольцо. Если Ф - поле, то каждая конечно порожденная представимая алгебра финитно аппроксимируема. Если поле бесконечно, то размерности аппроксимирующих алгебр могут быть выбраны огра-ни енными в совокупности. [19]
Прежде всего предположим, что основное поле А периодической представимой алгебры 91 алгебраически замкнуто. [20]
Теоремами 15, 16 можно воспользоваться и для решения проблемы Берн-сайда в той форме, в которой эта проблема была решена для матричных групп самим Бернсайдом. Аналогично можно поставить вопрос и для алгебр: не будет ли изоморфно представимая алгебра конечной, если каждый ее элемент является корнем некоторого полинома с коэффициентами из основного поля и степени всех этих полиномов в совокупности ограничены. Если не делать никаких предположений относительно радикала, то ответ будет заведомо отрицательный. Таким образом, речь может идти только о свойствах кольца вычетов по радикалу. Оказывается, что кольцо вычетов по радикалу у таких алгебр будет конечным над полем А. [21]
После того как выяснен вопрос о возможности представлений, вполне естественно возникает задача - найти поля простейшей структуры, в которых изоморфное представление было бы все еще возможным. Совершенно очевидно, что в самом основном поле А или его конечном алгебраическом расширении могут быть представлены изоморфно только конечные алгебры. Нами показано, что для представимой алгебры с конечным числом образующих полем представления может быть всегда взято конечное, чисто трансцендентное расширение А, а для периодических алгебр без радикала таким полем может быть выбрано алгебраическое замыкание А. [22]
Все перечисленные вопросы и результаты вполне аналогичны рассмотренным нами ранее [4] соответствующим теоретико-групповым предложениям. Их доказательства также остаются вполне аналогичными. Здесь рассматриваются вопросы о представимости прямых сумм, прямых произведений и свободных произведений представимых алгебр. [23]
Наиболее общая из них формулируется следующим образом. Обозначим через р мультипликативную полугруппу, порожденную этими образующими. Предположим теперь, что всякий элемент из ф алгебраичен относительно основного поля А. Спрашивается: будет ли алгебра 9 ( в этом случае конечной над А. В уже цитированной работе А. Г. Куроша показано, что для произвольных алгебр проблема эта решается отрицательно. Тем не менее для изоморфно представимых алгебр решение оказывается положительным. [24]