Градиент - целевая функция
Cтраница 3
 |
Характер изменения Е в окрестности срыва. [31] |
Суть градиентного метода ( рис. 18, а) состоит в чередовании процедур определения градиента целевой функции и рабочего шага. Каждый рабочий шаг анализируется на успешность и срыв. [32]
Метод наискорейшего спуска ( рис. 18, б) отличается от метода градиента тем, что градиент целевой функции определяется не на каждом рабочем шаге. В случае успешного шага движение к экстремуму производится в выбранном ранее направлении; при неуспешном шаге определяется новое направление градиента. [33]
Минимум целевой функции будем находить методом наискорейшего спуска, согласно которому после определения в начальной точке направления, противоположного градиенту целевой функции, двигаются в этом направлении до тех пор, пока целевая функция убывает, достигая таким образом минимума в некоторой точке. В этой точке вновь определяют направление спуска ( с помощью градиента) и ипгут новую точку минимума и так далее. [34]
Де h - величина q - ro шага; Ng - матрица порядка X; grad / ( WW) - градиент целевой функции, вычисленный в отображающей точке одного из предшествующих шагов; п - количество управляемых параметров. [35]
Описанный выше метод имеет тот недостаток, что при возвращении в область R из некоторой точки Xq Er R шаги вычисляются без учета направления градиента целевой функции. [36]
Следует отметить, что вблизи от оптимума метод наискорейшего спуска фактически вырождается в метод градиента, так как в данной области наблюдается резкое изменение направления градиента целевой функции. Поэтому методы наискорейшего спуска и градиента целесообразно применять в сочетании: вдали от оптимума - метод наискорейшего спуска, вблизи - метод градиента. [37]
Для оптимизации объектов проектирования, в которых происходят одномерные процессы, предлагаются методы [2], основанные на анализе знака и значения соответствующих производных от целевой функции, а также на анализе градиента целевой функции. [38]
Заметим, что матрица Р ( называемая проекционной матрицей, так как РР Р, что можно проверить в качестве упражнения) образуется при помощи весовой матрицы W - l и проектирует градиент целевой функции на касательную гиперплоскость к допустимой области. [39]
Из последнего соотношения следует, что если предыдущая точка находится в области допустимых решений исходной задачи, то второе слагаемое в квадратных скобках равно нулю и переход к последующей точке определяется только градиентом целевой функции. [40]
После определения числа Я находят координаты точки Х ( 1), вычисляют значение целевой функции в ней и выясняют необходимость перехода к новой точке X k 2 Если такая необходимость имеется, то вычисляют в точке А () градиент целевой функции, переходят к соответствующей задаче линейного программирования и находят ее решение. Определяют координаты точки х 2) и исследуют необходимость проведения дальнейших вычислений. После конечного числа шагов получают с необходимой точностью решение исходной задачи. [41]
Методы поиска экстремума классифицируются по следующим признакам: в зависимости от характера экстремума существуют методы условной и безусловной, локальной и глобальной оптимизации; по числу переменных проектирования различают методы одномерного и многомерного поиска, а по характеру информации о виде целевой функции - методы нулевого, первого и второго порядков, причем в методах первого порядка используют градиент целевой функции, поэтому эти методы называются градиентными, в методах второго порядка применяют вторые производные, а в методах нулевого порядка производные не используют. [42]
Градиентные методы поиска оптимальных решений основаны на использовании математических моделей, аппроксимирующих функции цели, и на анализе их частных производных. Градиентом целевой функции в рассматриваемой точке называется вектор, который направлен по нормали к поверхности постоянного уровня и по алгебраической величине равен производной этой функции. Указанный вектор в каждой точке области определения функции цели направлен по нормали к поверхности постоянного уровня, проведенной через эту точку, и поэтому совпадает по направлению с наискорейшим уменьшением или возрастанием целевой функции. Поэтому движение к оптимуму по градиенту совершается по кратчайшему пути. [43]
 |
Графическое представление условий Куна-Таккера. [44] |
Точка х на рис. 13.36 не является точкой оптимума, так как для нее невозможно выполнить условия Куна-Таккера. В этой точке градиенты целевой функции и активного ограничения g4 лежат на одной прямой и, следовательно, условия Куна-Таккера выполнимы. [45]
Страницы: 1 2 3 4