Cтраница 2
Понятие содержать все обратные зависит, конечно, от основного В-пространства, в котором действуют операторы а из 210 - Это едва ли приведет к недоразумениям, поскольку мы чаще имеем дело с операторными алгебрами, чем с абстрактными. [16]
Если М - некоторая динамическая переменная, которая может быть выражена через q, p и t, то оператор находят, заменяя q, р и t в алгебраическом выражении М операторами, отвечающими этим величинам, и заменяя действия обычной алгебры действиями операторной алгебры, Если в порядке множителей имеется некоторая неоднозначность, надо избрать такой порядок, чтобы получался эрмитов оператор. [17]
В доказательстве, данном в лемме 9.2, весьма существенно использовался тот факт, что 21 и 2Р являются В - алгебрами. Это важное свойство операторной алгебры, состоящее в том, что она содержит все обратные элементы, если они существуют как ограниченные всюду определенные операторы, присуще, конечно, не только 5 -алгебрам. Мы рассмотрим здесь некоторые неполные подалгебры 31 и соответствующие подалгебры 21Р, также обладающие этим свойством. [18]
Пусть В есть а-полная булева алгебра, удовлетво-ряющая условию предыдущей леммы. Тогда слабо замкну тая операторная алгебра, порожденная алгеброй В, совпадает с равномерно замкнутой алгеброй, порожденной В. [19]
Рассмотрим сначала случай автоматной Pi-алгебры. Задача описания неприводимых представлений сводится обычным образом ( путем факторизации по радикалу и разложения операторной алгебры в прямую сумму) к первичному случаю. [20]
Между гильбертовым пространством Ж, натянутым функциями состояния, и пространством Лиувилля f которое натягивается соответствующими линейными операторами, существует близкая аналогия. Однако, помимо того что имеет свойства унитарного векторного пространства, оно еще образует операторную алгебру, в которой определено произведение двух операторов. Например, Для однопереходных операторов сдвига ( см. разд. [21]
Таким образом, основной вопрос - вопрос о существовании и единственности решения функционального уравнения - далеко не всегда поддается элементарному анализу и возникает необходимость в других подходах к его решению. Преимущество подхода, основанного на изучении функциональных операторов, состоит в возможности использовать общие идеи и факты спектральной теории линейных операторов и операторных алгебр. Вместе с тем следует отметить, что изучение специальных классов операторов может служить источником новых задач и новых подходов в общей теории операторов. [22]
Дальнейшие рассмотрения будут относиться к тому случаю, когда все операторы данного коммутирующего семейства являются спектральными операторами скалярного типа. Поскольку каждый оператор скалярного типа содержится в сильном ( даже равномерном) замыкании алгебры, порожденной проекторами его разложения единицы, задача настоящего параграфа сводится к описанию операторов в сильном ( или слабом) замыкании операторной алгебры, порожденной булевой алгеброй проекционных операторов. [23]
Этот чисто алгебро-геометрический результат получается посредством применения теории VOA. А именно, в теории VOA имеется так называемый модулярный функтор. Этот функтор сопоставляет алгебраической кривой и операторной алгебре некоторое пространство. [24]
С теорией представлений таких алгебр связано много достижений в математике последнего времени. В определенном смысле примыкающими к ним можно назвать и теорию узлов, и даже деформационное квантование Концевича - оно может быть перетолковано как некое утверждение такого типа. Лет 5 назад было популярно изучение связи вертексных операторных алгебр с конечными простыми группами. [25]
При этом на первый план вышло умножение операторов ( как правило, некоммутативное), появились операторные алгебры. [26]
Бурбаки ( на семинаре Бурбаки первые сообщения об этой работе были сделаны А. Воодушевление математического сообщества было вызвано не столько чисто теоретико-узловыми аспектами этой работы, сколько открывающимися глубокими связями с операторными алгебрами ( оригинальная статья В. [27]
Первый том трехтомного пособия, написанного видными американскими учеными на основе курса, читанного ими в Принстон-ском университете. Ярко и наглядно представлены основные сведения из современного математического анализа, необходимые физикам. Описываются начальные понятия, гильбертовы, банаховы, топологические и локально выпуклые пространства, а также начала теории операторов. Следующие тома авторы предполагают посвятить анализу операторов и операторным алгебрам. [28]
Содержание книги отражает в основном развитие указанного направления. Отметим, что параллельно в работах одесских математиков изучалась операторная алгебра, порожденная сингулярными интегро-функциональными операторами на контуре, и для этой конкретной алгебры был получен ряд близких результатов. [29]
Хотя непрерывные функции, понятно, играют в книге Банаха важную роль, он рассматривает для них лишь структуру векторного пространства; они не перемножаются. Однако пренебрежение мультипликативной структурой продолжалось не так уж долго. Винер установил и использовал мультипликативное неравенство xy; х у для нормы в банаховом пространстве абсолютно сходящихся рядов Фурье. Интерес фон Неймана к теории операторов, возникший в связи с квантовой механикой, привел его к систематическому изучению операторных алгебр. [30]