Cтраница 2
В принципе возможно вычислять 0 - и у - на каждом шаге алгоритма Ланцоша. [16]
Вернемся теперь назад и, следуя работе [ Ruhe, 1979 ], переформулируем блочный алгоритм Ланцоша к виду, который ставит его на ту же самую основу, что и простой алгоритм Ланцоша. В этом случае первоначальная А непосредственно приводится к матрице ленточного вида. [17]
Идея итеративного применения алгоритма, т.е. с периодическим возобновлением, восходит к некоторым ранним попыткам применить алгоритм Ланцоша на имевшихся в 1950 г. вычислительных машинах. Сейчас Скотт советует применять 50 только в нужном конце спектра. [18]
Оказывается, что 3у ( г -) необходимо одновременно в j 13.2 и на следующем шаге алгоритма Ланцоша. [19]
Интересно сравнить время решения примера 2 по программе, приведенной в работе [2], и с использованием алгоритма Ланцоша. На ЭВМ PDP-11 / 34, по данным Фрида [3], необходимо соответственно 6 ч и 15 мин. На машине М-4030 это время составляет соответственно, 4 ч 40 мин и 6 4 мин. Значительно большая эффективность нашей программы, вероятно, обусловлена удачным выбором структуры данных и / или использованием другой версии алгоритма Ланцоша. [20]
Не предполагается, что Т и Q непременно должны быть вычислены посредством использованной в доказательстве процедуры, которая является на поверку алгоритмом Ланцоша. Для больших А процесс Ланцоша очень полезен, но, чтобы извлечь все его выгоды, необходима тщательная реализация. [21]
Теория Каниэля-Саада ( см. § 12.5) указывает, что хорошие аппроксимации Релея - Ритца для внешних собственных чисел и векторов будут получаться до значений / порядка 2J / п и что для таких вычислений алгоритм Ланцоша идеально подходит. [22]
В § 5 получены оценки трудоемкости алгоритма Ланцоша для разреженных систем, построенных методом линейного решета. Алгоритм Ланцоша был запрограммирован и апробировался при вычислении индивидуальных значений дискретных логарифмов для модулей логарифмирования размера до 50 десятичных знаков. Замерено время работы алгоритма. [23]
Следующим важным этапом на пути алгоритмизации задачи расчета ЭПР-спектра является выбор структуры данных, с которыми предстоит работать вычислительной машине. Использование алгоритма Ланцоша для решения задачи на отыскание собственных значении оператора позволяет выбрать любой компактный способ хранения матричных элементов, поскольку в процессе вычислений исходная матрица не изменяется. В наших программах применен блочный способ формирования и хранения матрицы оператора L; матричные элементы оператора Г хранятся в оперативной памяти отдельно в виде вектора. [24]
В процессе работы алгоритма Ланцоша ( на каждом его шаге) вычисляются необходимые матричные элементы и индексы, соответствующие положению этих элементов в исходной матрице оператора L. Мы используем версию алгоритма Ланцоша, в которой требуется хранение в оперативной памяти трех комплексных векторов, равных по размерности рангу исходной матрицы. [25]
В том случае, когда факторизация отвергается, уравнение Мх Ь может быть решено либо итерациями, либо методом сопряженных градиентов. Поэтому здесь можно применять и алгоритм Ланцоша, и итерации подпространства, как это описано в оставшихся параграфах. [26]
К счастью, на практике ошибки округления делают предположение А / А реалистическим. Это замечание будет усилено при обсуждении алгоритма Ланцоша в гл. [27]
В течение 1960 - х и 1970 - х гг., когда алгоритм Ланцоша находился в забвении, были разработаны тонкие версии метод итерирования подпространств. Сейчас, когда существуют простые в использовании и надежные программы, реализующие алгоритм Ланцоша, уместно спросить, не следует ли совсем отказаться от метода итерирования подпространства. Нет, не следует, поскольку имеются несколько ситуаций, в которых его применение оправдано. [28]
В последующих работах, уже не отраженных в книге, Парлетт обращается к алгоритму Ланцоша как методу вычисления всего спектра, а затем как методу решения больших симметричных систем уравнений. [29]
Ленточная версия алгоритма несколько более сложна, чем алгоритм с одним вектором. Однако если известно, что многие из требуемых собственных чисел имеют кратность v, то ленточный алгоритм Ланцоша с выборочной ортогонализацией ( SO) будет более эффективен, чем простой 50, поскольку все копии кратных собственных чисел будут найдены на одном и том же шаге, вместо последовательного вычисления их один за другим. В то же время если все собственные числа простые, то обычный 50 предпочтительнее. [30]