Cтраница 1
Верхние границы модулей производных первых п - 4 порядков относительно ( xly yj коэффициентов у равнения ( 10) будут, таким образом, известны, если производные первых п - 4 порядков коэффициентов D, E, F ограничены. [1]
Чтобы иметь верхние границы модулей всех третьих производных, достаточно теперь найти верхние границы w и w на контуре. [2]
При этих условиях можно найти верхние границы модуля функции Ak ( x) и ее производных в ромбе, если извзстна верхняя граница v ( x) в том же самом ромбе. Аналогично получаем взрхнюю границу для функции Вп ( у) и ее производных при условии, что вещественная часть у не отрицательна. [3]
Но предыдущее рассуждение не дает возможности установить верхние границы модулей последовательных производных z внутри малого круга а. Можно было бы устранить это затруднение, не вводя нового принципа, а применяя то же рассуждение к окружности С1у заключающей кружок а ( так как мы знаем благодаря предыдущему верхние границы модулей производных первых п порядков на окружности С), но имеющей свой центр вне а. Надо иметь в виду, что возникающее затруднение, которое состоит в том, что внутри а будут ограничены только производные п - 3 первых порядков, будет незначительным. Однако, если желательно оставить лемму в той формулировке, в которой она была дана, то нужно поступить иным образом. С этой целью можно было бы использовать метод вспомогательных функций, как это было сделано в моей русской статье, но проще применить метод последовательных приближений который мне послужил, для доказательства основной теоремы об аналитической природе решений. [4]
После того, как определена верхняя граница w, непосредственно находятся верхние границы модулей всех вторых производных. Отсюда следует, что задача Дирихле для уравнения ( lbis) возможна, какова бы ни была функция Ф ( 6), обладающая ограниченными производными первых четырех порядков. [5]
Отсюда мы получим верхнюю границу wkti, и, следовательно, получим верхние границы модулей всех производных z порядка п - f 1 как на окружности С, так и внутри нее. [6]
Полагая, в частности, п 6, мы видим, что можно определить верхние границы модулей частных производных первых двух порядков коэффициентов уравнения ( 10); тогда мы будем вправе к нему применить неравенства ( 10) первой части этой работы ( Math. [7]
Наше предложение будет доказано, если мы сумеем указать a priori посредством данных на контуре верхние границы модулей производных первых двух порядков решения, существование которого предполагается. [8]
Чтобы установить основные неравенства, которые мы имеем в виду, нужно еще выразить коэффициенты уравнения ( 10) при помощи х 9 у и найти верхние границы модулей их производных первых двух порядков по хг, уг. [9]
Дирихле с частными данными на контуре, то всегда возможно ввести в уравнение такой параметр а ( неограниченным числом различных способов), что при а 0 возможность задачи очевидна, для а 1 можно указать верхние границы модулей производных двух первых порядков и при а 1 уравнение приводится к заданному уравнению. [10]
Вот почему я полностью отстаиваю мое утверждение, которым кончается § 14: Лемма ( теорема В), таким образом доказанная, показывает нам, что вопрос о возможности решения задачи Дирихле приводится к вопросу о возможности фиксировать a priori верхние границы модулей решения и модулей его производных девяти первых порядков, если предполагается только существование этого решения и его производных всех порядков. [11]
Но метод вспомогательных функций позволяет последовательно установить верхние границы для модулей частных производных всех порядков р п для любого аналитического решения z уравнения ( 6) в замкнутом круге С, на границе которого z обращается в функцию, дифференцируемую - тг 2 раз, после того как известны верхние границы модулей его производных первых двух порядков. [12]
Но метод вспомогательных функций позволяет последовательно установить верхние границы для модулей частных производных всех порядков р п для любого аналитического решения z уравнения ( 6) в замкнутом круге С, на границе которого z обращается в функцию, дифференцируемую и - г 2 раза, после того как известны верхние границы модулей его производных первых двух порядков. [13]
Но предыдущее рассуждение не дает возможности установить верхние границы модулей последовательных производных z внутри малого круга а. Можно было бы устранить это затруднение, не вводя нового принципа, а применяя то же рассуждение к окружности С1у заключающей кружок а ( так как мы знаем благодаря предыдущему верхние границы модулей производных первых п порядков на окружности С), но имеющей свой центр вне а. Надо иметь в виду, что возникающее затруднение, которое состоит в том, что внутри а будут ограничены только производные п - 3 первых порядков, будет незначительным. Однако, если желательно оставить лемму в той формулировке, в которой она была дана, то нужно поступить иным образом. С этой целью можно было бы использовать метод вспомогательных функций, как это было сделано в моей русской статье, но проще применить метод последовательных приближений который мне послужил, для доказательства основной теоремы об аналитической природе решений. [14]
Действительно, отсылая читателя, желающего дополнить доказательство, к главе IV цитированной статьи, я ограничусь замечанием, что в случае линейных уравнений величина радиуса круга а, где применим метод последовательных приближений, зависит только от норм1 коэффициентов уравнения, относящихся к этому кругу, и не зависит никак от значений решения, рассматриваемого на контуре. Круг а может, таким образом, быть определен a priori как только задано уравнение ( 9bls); и далее знание верхних границ производных первых трех порядков от z ( учитывая рассуждения, сделанные выше) на окружности а позволяет вычислить верхние границы норм z относительно круга а. Тогда, принимая во внимание свойства норм, можно без труда указать верхние границы модулей производных от z внутри а до какого угодно порядка. Наша лемма, таким образом, полностью доказана. [15]