Cтраница 1
Громол и Мейер [1] определяли характеристическое многообразие как образ D0 при таком локальном эквивариантном диффеоморфизме г з, при котором Ee ty расщепляется, как указано в формулировке 4.2.1, на квадратичную часть, зависящую только от, и вырожденную часть, зависящую только от о. Именно это и нужно для дальнейшего. [1]
Громол и Мейер [2] заметили, что формула, похожая на формулу (), может быть получена из результата Ботта. [2]
Сулливан и Вигю [40] использовали вычисление алгебры Ж для усиления теоремы Громола и Мейе-ра, утверждающей существование на всяком римановом многообразии X бесконечного числа геометрически различных периодических геодезических, на тот случай, когда последовательность чисел Бетти прос. X) не предполагается ограниченной; для этого достаточно, чтобы алгебра Н ( Х, Q) не порождалась единственным элементом. [3]
В § 4.2 излагается упрощенное доказательство слегка усиленного варианта знаменитой теоремы Громола и Мейера [2], которая утверждает существование бесконечного числа однократных замкнутых геодезических на компактном римановом многообразии М в том случае, когда числа Бетти пространства AM неограни-чены. [4]
В этом параграфе мы изложим несколько упрощенное доказательство слегка усиленного варианта теоремы Громола - Мейера: если существует такое простое поле, для которого последовательность чисел Бетти многообразия ЛУИ не ограничена, то на многообразии М есть бесконечно много однократных замкнутых геодезических. [5]
Эта книга, подобно известной советскому читателю другой книге Клингенберга Риманова геометрия в целом ( Громол, Клингенберг, Мейер [1]), возникла из записей его лекций, которые вначале были изданы Боннским университетом в виде препринта, а позднее вышли в издательстве Шпрингер. Но если перед сдачей в издательство Риманова геометрия в целом подверглась редактированию и расширению ( эта переработка была настолько существенной, что выполнившие ее Громол и Мейер стали соавторами), то с настоящими Лекциями этого не произошло. Отсюда сказывающиеся местами погрешности изложения, естественные для лекций по такому предмету, где еще не накопилось достаточного опыта преподавания: неровность, а кое-где даже пробелы и неточности. Вполне естественно, что читатель отсылается к этой книге по поводу различных, так сказать, ответвлений от основной линии изложения. [6]
Аналогичная теорема, но для S ( п) - защемленных многообразий, где 5 ( п) - 1 при п -, была ранее почти одновременно доказана Громолом, Калаби, Шиката. [7]
Громол, Клинген-берг, Мейер [1]), состоящая в том, что на полном конечномерном связном римановом многообразии любые две точки можно соединить минимальной геодезической, в общем случае не выполняется для римановых гильбертовых многообразий. [8]
Лет 15 назад удивительный контраст с этими успехами теории Морса составляла ситуация в задаче о замкнутых геодезических, где почти все результаты были связаны с теорией Люстерника - Шнирельмана. Эта ситуация изменилась, когда Громолу и Мейеру [2] ( кстати, они являются учениками Клингенберга) удалось доказать существование бесконечного числа замкнутых геодезических на замкнутых рима-новых многообразиях М с достаточно сложными кольцами когомологий. [9]
В § 4.3 мы доказываем, что на каждом компактном римановом многообразии, фундаментальная группа которою конечна, существует бесконечно много однократных замкнутых геодезических. Доказательство, помимо изложенных в § 4.2 результатов Громола и Мейера, использует построенную Сулливаном теорию рационального гомотопического типа и - существенным образом - свойства комплекса Морса. [10]
Для того чтобы сделать основную идею доказательства более прозрачной, мы сначала рассмотрим случай, когда все замкнутые геодезические на М невырожденны. При рассмотрении случая вырожденных замкнутых геодезических будет использована теорема Громола - Мейера. [11]
Теперь мы подготовлены к тому, чтобы доказать теорему Морса об индексе для времениподобных геодезических сегментов. Доказательство, которое мы здесь приведем, основывается на доказательстве Громола, Клингенберга и Мейера ( 1971, с. [12]
Приведенная формулировка содержит в точности то, что нужно для дальнейшего. Формально она отличается от обычной формулировки теоремы о сфере, имеющейся книге Громола, Клингенберга и Мейера, поэтому стоит дать некоторые пояснения, выделив в доказательстве теоремы о сфере те моменты, которые оправдывают данную формулировку. Основная часть доказательства этой теоремы состоит в доказательстве следующих фактов. [13]
Здесь мы предлагаем подход, который следует доказательству теоремы Морса об индексе для произвольного риманова многообразия, приведенному в книге Громола, Клингенберга и Мейера ( 1971, разд. [14]
В 1951 г. Люстерник и Фет [1] доказали, что на любом компактном римановом многообразии всегда существует по крайней мере одна замкнутая геодезическая. Начиная с 60 - х годов, теория замкнутых геодезических была значительно продвинута в работах Альбера, А. С. Шварца, Фета, Громола и Мейера, Элиассона и автора. Оглядываясь назад, можно сказать, что очень важной оказалась предложенная автором в 1965 г. ( см. Клингенберг [3]) переформулировка теории Морса на пространстве замкнутых кривых на римановом многообразии. [15]