Cтраница 2
Все эти результаты естественно наводят на мысль о необходимости систематического изучения глобальной лоренцевой геометрии. Изложение современной римановой геометрии, как это сделано в любом из общепризнанных учебников ( см. Бишоп и Крит-тенден ( 1967), Громол, Клингенберг и Мейер ( 1971), Хелгасон ( 1964), Хикс ( 1965)), подсказывает идею, что всестороннюю разработку глобальной лоренцевой геометрии следует вести в трех основных направлениях: геодезическая и метрическая полнота, лоренцева функция расстояния, теория Морса для непространственноподобных геодезических сегментов в произвольном лорен-цевом многообразии. [16]
Эта книга, подобно известной советскому читателю другой книге Клингенберга Риманова геометрия в целом ( Громол, Клингенберг, Мейер [1]), возникла из записей его лекций, которые вначале были изданы Боннским университетом в виде препринта, а позднее вышли в издательстве Шпрингер. Но если перед сдачей в издательство Риманова геометрия в целом подверглась редактированию и расширению ( эта переработка была настолько существенной, что выполнившие ее Громол и Мейер стали соавторами), то с настоящими Лекциями этого не произошло. Отсюда сказывающиеся местами погрешности изложения, естественные для лекций по такому предмету, где еще не накопилось достаточного опыта преподавания: неровность, а кое-где даже пробелы и неточности. Вполне естественно, что читатель отсылается к этой книге по поводу различных, так сказать, ответвлений от основной линии изложения. [17]
Для последующего использования в разд. Рауха ( Громол, Клингенберг и Мейер ( 1971, с. Чигер и Эбин ( 1975, с. Все результаты этого раздела, исключая следствие 10.12, опубликованы в работе Бимаи Эрлиха ( 1979, разд. Приведенный в этом разделе результат ( теорема 10.11) является лоренцевым аналогом теоремы Рауха I. Харрис ( 1979, 1982) доказал лоренцевы аналоги обеих теорем Рауха, I и II, и, используя теорему Рауха II, получил лоренцев аналог теоремы сравнения Топоногова для времени-подобных геодезических треугольников в некоторых классах пространственно-временных многообразий ( см. Чигер и Эбин ( 1975, с. Харрис ( 1979, 1982) получил также, применяя упомянутый выше результат, лоренцев аналог теоремы Топоногова о диаметре ( см. Чигер и Эбин ( 1975, с. [18]
Якобсу за несколько полезных бесед, касающихся вариационного исчисления и некоторых фактов из разд. Каждому, кто читал превосходные книги Громола, Клингенберга и Мейера ( 1971) по римановой геометрии или Хокинга и Эллиса ( 1977) по общей теории относительности, должно быть ясно, сколь многим мы обязаны этим авторам. Обоим авторам доставляет удовольствие поблагодарить Совет по научным исследованиям Университета Миссури ( Колумбия), а второму автору - еще и 40 - й отдел специальных исследований в области теоретической математики Математического отделения Боннского университета. Кроме того, мы хотели бы выразить признательность Национальному научному фонду Гранта MCS 77 - 18723 ( 02), контролируемого институтом повышения квалификации ( Принстон, Нью Джерси), за частичную финансовую поддержку во время нашей работы над этой монографией. Наконец, нам приятно выразить благодарность Диане Гоффман, Деанне Уилльямсон и Дебре Рецлофф за терпеливое и неутомимое печатание рукописи. [19]
Цель этой книги дать доступное, но достаточно подробное изложение основ римановой геометрии. Оно позволит читателю с общей математической подготовкой овладеть техникой этого раздела геометрии и войти в круг основных идей римановой геометрии в целом, главное содержание которой составляют результаты о влиянии локальных свойств кривизны риманова многообразия на его строение в целом. Мы вдохновлялись в начальной части примером книги О Нейла [126 ] о псевдоримановой геометрии, а в дальнейшей части - книгами Громола, Клингенберга, Майера [13] и Чигера, Эбина [68 ], которые представляются все же слишком трудными для начинающего. [20]
Многие основные свойства полных некомпактных римановых многообразий выводятся из того принципа, что предельная кривая последовательности минимальных геодезических сама является минимальной геодезической. После того как Хопфом и Риновым ( 1931) было дано корректное определение полноты, Ринову ( 1932) и Майерсу ( 1935) удалось доказать, используя этот принцип, что из каждой точки полного некомпактного риманова многообразия исходит геодезический луч. Здесь под лучом понимается геодезическая у: [ О, оо) - ( N, g0), реализующая риманово расстояние между любой парой своих точек. Ринов и Майерс построили требуемый геодезический луч следующим образом. Существование геодезических лучей, проходящих через каждую точку, является важным инструментом в недавно построенной теории структуры полных некомпактных римановых многообразий как положительной ( см. Чигер и Громол ( 1971, 1972)), так и отрицательной ( см. Эберлейн и О Нейл ( 1973)) кривизны. [21]