Cтраница 2
В случае когда T ( ker9l) - замкнутое подмножество в гильбертовом пространстве, существует единственный сплайновый алгоритм ф3, и он централен и линеен. В силу линейности, комбинаторная сложность алгоритма мала, так как можно воспользоваться методом проведения вычислений заранее. [16]
В данной главе мы унифицируем и обобщаем многие известные результаты и получаем новые свойства оптимальности сплайновых алгоритмов. [17]
Замечание 4.2. В теореме 4.1 утверждается, что отклонение однородного алгоритма конечно лишь в случае, если он сплай-новый. Если сплайновый алгоритм нелинеен, то класс линейных алгоритмов с конечным отклонением пуст. [18]
Этим доказано, что a - сплайн. Определим сплайновый алгоритм ф формулой ( см. § 4, гл. [19]
Позже мы приведем примеры, когда линейный сплайновый алгоритм существует. А сейчас проиллюстрируем лемму 4.4 примером, где единственный сплайновый алгоритм нелинеен. [20]
Перейдем к вопросу о том, когда сплайновый алгоритм оптимален по точности. Отметим, что теперь мы имеем дело с неединственными сплайновыми алгоритмами, так как не предполагаем, что множество SP ( Tf) одноэлементно. [21]
В этом параграфе мы изучаем сплайновые алгоритмы в случае, когда пространство 34 не обязательно гильбертово. Даны условия, необходимые и достаточные для того, чтобы сплайновый алгоритм был центральным, и для того, чтобы он был оптимальным по точности. Приводятся также примеры, когда сплайновые алгоритмы не являются ни центральными, ни оптимальными по точности. [22]
Предположим теперь, что с удовлетворяет условиям ( i) и ( п); это означает, что с ( у) - однородный интерполяционный алгоритм. Из леммы 4.2 следует, что с ( у) - сплайновый алгоритм. [23]
Сложность ее решения может быть большой. Это означает, что во многих случаях оптимизационную задачу (3.2) нужно решать только один раз. Для нелинейных сплайновых алгоритмов идея проведения вычислений заранее в общем случае не проходит, и комбинаторная сложность таких алгоритмов может оказаться очень большой. [24]
В этом параграфе мы изучаем сплайновые алгоритмы в случае, когда пространство 34 не обязательно гильбертово. Даны условия, необходимые и достаточные для того, чтобы сплайновый алгоритм был центральным, и для того, чтобы он был оптимальным по точности. Приводятся также примеры, когда сплайновые алгоритмы не являются ни центральными, ни оптимальными по точности. [25]
В § 2 вводится понятие отклонения, играющее центральную роль во всей главе. В § 3 мы напоминаем определение сплайнов в нормированном линейном пространстве, а в § 4 даем общее определение сплайнового алгоритма. Сплайновые алгоритмы однородны, но не обязательно линейны. Мы доказываем, что их отклонение не больше двух. Далее, предполагая единственность сплайнового алгоритма, мы доказываем, что отклонение любого линейного ( на самом деле даже любого однородного) несплайнового алгоритма бесконечно. А именно, класс линейных алгоритмов с конечным отклонением состоит из одних лишь линейных сплайновых алгоритмов. Таким образом, этот класс пуст, если сплайновые алгоритмы нелинейны. В § 5 мы рассматриваем случай гильбертова пространства. Показано, что в этом случае сплайновые алгоритмы являются линейными и центральными. [26]
В § 2 вводится понятие отклонения, играющее центральную роль во всей главе. В § 3 мы напоминаем определение сплайнов в нормированном линейном пространстве, а в § 4 даем общее определение сплайнового алгоритма. Сплайновые алгоритмы однородны, но не обязательно линейны. Мы доказываем, что их отклонение не больше двух. Далее, предполагая единственность сплайнового алгоритма, мы доказываем, что отклонение любого линейного ( на самом деле даже любого однородного) несплайнового алгоритма бесконечно. А именно, класс линейных алгоритмов с конечным отклонением состоит из одних лишь линейных сплайновых алгоритмов. Таким образом, этот класс пуст, если сплайновые алгоритмы нелинейны. В § 5 мы рассматриваем случай гильбертова пространства. Показано, что в этом случае сплайновые алгоритмы являются линейными и центральными. [27]
Книга разбита на две большие части, одна из которых посвящена сплайн-функциям, а вторая - геометрическим сплайнам. В первой части как бы главенствуют расчеты, в то время как во второй ведущая роль отводится изображению. Однако эти части довольно естественно связаны общностью основных идей. Одной из таких связующих идей является программная реализация сплайновых алгоритмов. [28]
В этом параграфе мы изучаем сплайновые алгоритмы в случае, когда пространство 34 не обязательно гильбертово. Даны условия, необходимые и достаточные для того, чтобы сплайновый алгоритм был центральным, и для того, чтобы он был оптимальным по точности. Приводятся также примеры, когда сплайновые алгоритмы не являются ни центральными, ни оптимальными по точности. Интуитивно очевидно, что сплайновый алгоритм централен в том и только в том случае, если центры множеств U ( /) принадлежат этим множествам и обладают свойством однородности. [29]
В этом параграфе предполагается, что S-линейный оператор, а 30 /: JT / 1, где Т - линейный оператор ограничений. Мы показываем, что для некоторых S, Т и 91 не существует линейного оптимального по точности алгоритма. В случае когда область значений Т лежит в гильбертовом пространстве и Т ( кег91) замкнуто, множитель с равен единице. В этом случае мы получаем линейный оптимальный по точности алгоритм, являющийся также центральным. Этот алгоритм тесно связан со сплайновыми алгоритмами, изучаемыми в гл. [30]