Cтраница 2
При таком вложении подгруппа изотропии 3Xf) группы 3 ( М) для точки г0 я ( и0) есть пересечение в 0 ( М) группы 3 ( М) и слоя расслоения О ( М) над точкой ха. Так как каждый слой расслоения О ( М) компактен, то группа изотропии также компактна. [16]
Когда G действует на себе посредством сопряжений, группа изотропии элемента есть не что иное, как нормализатор этого элемента. Точно так же, когда О действует посредством сопряжений на множестве своих подгрупп, группа изотропии подгруппы - это снова ее нормализатор. [17]
В течение долгого времени оставался незамеченным тот факт, что наличие в общем случае нетривиальной группы изотропии делает эту структуру намного более сложной, чем в случае невырожденного критического многообразия в пространстве параметризованных кривых. Наше изложение восходит к статьям Клин-генберга [4], [5], [6], где со всеми подробностями было разобрано несколько частных случаев. [18]
Этим устанавливается изоморфизм группы движений пространства Ln с подгруппой индекса 2 группы Ли Oitn всех псевдоортогональных преобразований ( ср. Во всех трех случаях стабилизатор точки изоморфен группе Ли Оп. Более точно, он изоморфен ( посредством дифференциала) группе изотропии, которая совпадает с полной ортогональной группой касательного пространства. [19]
Группа движений такого многообразия является, вообще говоря, бесконечномерной. В [41] исследуются свойства симплектической метрики при различных предположениях относительно группы изотропии. [20]
Эта группа остается от группы симметрии евклидова пространства IR3 после того, как мы исключили сдвиги. Заметим, что SO ( 3) не сохраняет комплексных структур. Имеется лишь одна исключительная орбита - проективная плоскость Р2, точки которой отвечают столкновениям; для нее группой изотропии служит окружность. Все это означает, что автодуальные уравнения Эйнштейна сводятся к системе обыкновенных дифференциальных уравнений. Результат заключается в следующем. [21]
Чтобы в этом убедиться, рассмотрим естественное действие G слева на столбцы. Группа изотропии столбца е1 [1,0] совпадает, очевидно, с U. Так как эти две орбиты покрывают орбиту Ge1, то отсюда следует, что В U BwB G, поскольку группа изотропии U содержится в В. [22]