Группа - подобие
Cтраница 2
Интересно было бы определить самое общее течение невязкой жидкости, удовлетворяющее условию подобия ( 48), и проверить течение на инвариантность относительно подгрупп группы подобия. [16]
С / 2 д / дх - оператор трансляции по координате, С / з td / dt - f хд / дх - оператор группы подобия, С / 4 xd / dt Ч - td / dx - оператор группы Лоренца. [17]
 |
Возможные формы кривых. [18] |
Группа подобия системы (1.113) при ф 0 зависит от трех параметров, следовательно, система (1.113) допускает две однопараметрические группы и ее порядок можно понижать дважды. [19]
Докажите, что множество всех аффинных преобразований пространства Е, заданных в прямоугольных координатах с помощью формул вида X kAX - - B, где А - ортогональная матрица; k - отличное от нуля действительное число, образует группу. Она называется группой подобий. Докажите, что все пары параллельных fe - мерных ( k фиксировано) плоскостей ( см. определение 25.7) эквивалентны относительно преобразований подобия. [20]
Сначала, в § 59 - 65 будет дан критический обзор анализа размерностей. К анализу размерностей обычно обращаются, когда нужно обработать результаты экспериментов с моделями, и он обладает тем преимуществом, что для него не требуется математических сведений сверх курса элементарной алгебры, но зато и тем недостатком, что необходимо вводить добавочные постулаты, физическую надежность которых приходится проверять особо. В § 60 - 61 эти постулаты даны в теоретико-групповой формулировке в терминах группы подобия всевозможных чзменений основных единиц. [21]
Каждую геометрию можно охарактеризовать соответствующей ей группой, предмет же ее состоит в изучении свойств геометрических фигур, инвариантных относительно данной группы преобразований. Так, например, метрическая геометрия изучает свойства фигур, инвариантных при всех преобразованиях группы подобия М, названной Клейном также главной группой. [22]
Тот факт, что в геометрии группы подобий ( в геометрии главной группы по терминологии Клейна) можно говорить об отношении длин двух отрезков, приводит к мнению ( достаточно распространенному) о том, что естественное осмысление евклидовой геометрии состоит именно в понимании ее как геометрии группы Р ( главной группы), а рассмотрение геометрии группы движений малосущественно и не соответствует истинному пониманию смысла евклидовой геометрии. Теорема о том, что в равнобедренном треугольнике углы при основании равны, полностью сохраняет свое значение в геометрии группы подобий. [23]
Анализируется связь понятия скалярного произведения и проекции и отмечается, что далее следует перейти от векторного пространства со скалярным произведением к соответствующему аффинному пространству. Тем самым возникает евклидово пространство. Отмечено, что такой подход противоречит в известной мере евклидову, поскольку предполагает сделанным выбор единицы длины, что влечет за собой замену характерной для евклидовой геометрии группы подобий группой перемещений. Показано построение геометрических понятий на векторной модели геометрического пространства. [24]
Свойства решений обыкновенных дифференциальных уравнений также тесно связаны с непрерывными группами. Эта связь хорошо известна [2 ] и установлена основоположником теории непрерывных групп Софусом Ли. В работах Л. В. Овсянникова рассматриваются групповые свойства систем дифференциальных уравнений как в частных производных, так и обыкновенных. Знание группы, допускаемой системой, позволяет уменьшить порядок этой системы. Группа подобия (1.92) содержит произвольный параметр а. Отсюда вытекает, что уравнения (1.93) должны допускать однопараметрическую группу. Ее легко найти непосредственно: преобразование / af, h ah оставляет систему (1.93) без изменения. [25]
Однако такая точка зрения неправильна. Связную линию / будем называть транзитивной, если для любых двух точек А, В этой линии найдется преобразование f ( принадлежащее группе преобразований, определяющей рассматриваемую геометрию), которое переводит линию / в себя, а точку А - в точку В. Транзитивная линия может как бы скользить по себе в рамках рассматриваемой геометрии. В евклидовой геометрии существуют только два типа связных линий на плоскости, которые могут скользить по себе: это прямые и окружности. И это может быть строго оформлено в виде теоремы, которая справедлива в геометрии группы движений: плоская связная линия в том и только в том случае является транзитивной, если она представляет собой прямую или, окружность. Таким образом, естественное с точки зрения евклидовой геометрии представление о том, что связными плоскими линиями, которые могут скользить по себе, являются лишь прямые и окружности, имеет силу в геометрии группы движений, но не в геометрии группы подобий. Клейновская метрическая геометрия в этом вопросе отходит от привычных представлений евклидовой геометрии. [26]
Страницы: 1 2