Cтраница 3
Тогда GP / FP является группой Галуа поля Яр, и Gp является группой операторов для 21яр) причем Fv действует тривиально. [31]
Группа Галуа W ( lm) Z ( lm, l) есть прямое произведение двух циклических групп порядка / т, т.е. максимальная группа показателя / т с двумя образующими. Ввиду этого нам достаточно доказать, что группа Галуа поля К ( 1т 1) имеет не более двух образующих. [32]
При помощи подгрупп Бореля, содержащих Г, строятся нек-рые мономорфизмы а-ддитивной группы поля в подгруппы Бореля ( содержащие Т), играющие роль корней. Окончательная классификация полупростых групп не зависит от характеристики основного поля и поэтому совпадает с классификацией комплексных полупростых алгебраич. [33]
Обсудить сначала вопрос о том, какое строение могут иметь мультипликативная и аддитивная группы поля. [34]
Пусть Ф е Q [ х ] - полином степени 6, такой, что группа Галуа поля разложения полинома Ф является симметрической группой шестой степени. [35]
Показать, что группа-поля К ( в) над К тогда и только тогда равна группе поля Л ( 6) над Л, когда К ( б) ПЛ К. [36]
Показать, что группа-поля К ( 9) над К тогда и только тогда равна группе поля Л ( 0) над Л, когда К ( 8) ПЛ К. [37]
В работе исследуются условия, при которых заданное нормальное конечное расширение kjQ, с группой Галуа F может быть погружено в большее расширение Kj. Галуа G, заданное эпиморфное отображение которой ( р: G - F должно реализоваться в качестве гомоморфизма группы Галуа поля на группу Галуа подполя. Мы рассматриваем только тот случай, когда ядро А эпиморфизма ( f абелево и, следовательно, K / k должно иметь абелеву группу Галуа А. [38]
Задача погружения предполагает заданными нормальное расширение k / fl с группой Галуа F, группу G и эпиморфизм ф: G - F. Требуется найти условия, при которых существует нормальное расширение K / tl с группой Галуа G такое, что К D k, и эпиморфизм ф совпадает с естественным гомоморфизмом группы Галуа поля на группу Галуа подполя. [39]
Пусть дана конечная группа G и ее гомоморфный образ F с фиксированным гомоморфизмом G на F. Задача погружения заключается в разыскании условий, при которых заданное нормальное расширение K / k с группой Галуа F может быть погружено в расширение K / k с группой Галуа G, причем так, чтобы предписанный гомоморфизм G на F совпадал с естественным гомоморфизмом группы Галуа поля на группу Галуа подполя. [40]
Алгебраическое расширение К поля k называется расширением Галуа, если оно нормально и сепарабельно. Группа автоморфизмов поля К над k называется группой Галуа поля К над k и обозначается символом О ( К ] К) или просто О. [41]
Эта теорема должна накладывать известные ограничения на абсолютную группу Галуа поля классов. В самом деле, если К есть абсолютно нормальное, относительно абелево и неразветвленное поле над k, то группы инерции полей k и К изоморфны, а вместе с тем их композиты воспроизводят группу Галуа полей k и К. Из этого, например, сразу вытекает, что группа Галуа поля К не может быть циклической. [42]
В завершающих разделах обзора приведены гипотезы и аналогии, указывающие на роль в теоретико-числовом мышлении некоторых общих принципов, которые иногда предопределяют развитие теории на десятилетия вперед. Поэтому мы выбрали в качестве иллюстраций современную судьбу классических аналогий между числами и функциями, а также краткое описание программы Ленглендса, которая имеет целью проникновение в структуру группы Галуа поля алгебраических чисел и завязывает в сложный узел гипотетические свойства представлений этой группы, дзета-функции и модулярные ( ав-томорфные) формы. [43]
Задача погружения полей заключается в следующем. Даны нормальное расширение fc / fi с группой Галуа F и группа G, имеющая нормальный делитель 65 с G / 0 F. Требуется узнать, когда существует такое поле К D &, нормальное над Q, что его группа Галуа над fi есть G, а гомоморфизм G на F совпадает с естественным гомоморфизмом группы Галуа поля на группу Галуа подполя. [44]
Следующая крупная глава арифметики связана с расширением области целых чисел до области целых алгебраических чисел. Последняя не является конечно порожденным кольцом, и сходство с арифметикой Z сохраняют лишь ее подкольца, состоящие из целых чисел конечных расширений Q. Исторически необходимость расширения Z была вызвана прямыми арифметическими нуждами, скажем, для исследования уравнения Ферма методом спуска очень полезна теория делимости в кольце, порожденном корнями из единицы. Но постепенно на первый план выдвигалось принципиально новое обстоятельство - существование фундаментальной группы симметрии теории чисел, группы Галуа поля всех алгебраических чисел Gal ( Q / Q) и открытие того, что самая важная арифметика закодирована в ее структуре. Вероятно, Гаусс был первым, кто ясно понял это. Уже в его юношеской работе о построении правильных многоугольников подчеркнуто, что возможность построения циркулем и линейкой зависит не от видимой геометрической симметрии задачи, а от глубоко скрытой симметрии Галуа. Его последующее глубокое обдумывание квадратичного закона взаимности ( восемь доказательств. [45]