Cтраница 1
Группы простого порядка просты, так как порядок подгруппы должен быть делителем порядка всей группы; следовательно, в такой группе, кроме нее самой и единичной подгруппы, вообще нет подгрупп, а потому нет и нормальных подгрупп. Любое одномерное векторное пространство является простым, потому что каждое собственное подпространство имеет размерность нуль и состоит из одного лишь нулевого вектора. [1]
Группа простого порядка р не может иметь собственных подгрупп и поэтому является циклической группой, порожденной любым своим элементом, отличным от единицы. В теореме 1.5.4 мы уже показали, что группа G, не имеюшая собственных подгрупп, - циклическая группа простого порядка. [2]
Группа простого порядка является циклической. [3]
Поэтому группа простого порядка, безусловно, примитивна. [4]
Любил группа простого порядка и любая подгруппа циклической группы являются циклическими. [5]
Всякая группа простого порядка р является циклической. [6]
Доказать, что группа простого порядка является циклической. [7]
Примером неприводимого модуля над кольцом целых чисел служат группы простого порядка. Поле ( и даже тело) является неприводимым модулем над самим собой. [8]
Примером неприводимого модуля над кольцом целых чисел служат группы простого порядка. [9]
Компактное ориентируемое над Zp многообразие не допускает никакого локально гладкого действия группы простого порядка р, имеющего в точности одну неподвижную точку. [10]
Следующие свойства кольца R эквивалентны: ( 1) R не содержит левых идеалов, отличных от 0 и R; ( 2) R не содержит правых идеалов, отличных от 0 и R; ( 3) R-или тело, или одноэлементное кольцо, или абелева группа простого порядка с нулевым умножением. [11]
Порядок любого элемента делит порядок группы. Группа простого порядка р всегда циклическая и с точностью до изоморфизма единственная. [12]
Поэтому число п простое, a G - циклическая группа простого порядка. По теореме Лагранжа группа простого порядка не может содержать подгруппу, отличную от единичной и всей группы. [13]
Проведем индукцию относительно порядка. Утверждение верно для групп простого порядка, так как они сами критические. Пусть В - произвольная группа; если она не критическая, то она принадлежит многообразию, порожденному ее собственными факторами. Их порядки делят порядок группы В, значит, те из собственных факторов, которые не являются критическими, по предположению индукции принадлежат многообразиям, порожденным их критическими факторами. [14]
В настоящей главе приводится краткий очерк известных простых групп. Последние включают в себя группы простого порядка, знакопеременные группы степени не меньше 5, группы типа Ли и 26 спорадических групп. Группы типа Ли представляют собой аналоги над конечными полями комплексных групп Ли и образуют наиболее обширную часть известных простых групп. В случае конечных групп по сравнению с комплексными возникают некоторые дополнительные типы групп. Например, семейство групп Судзуки и два семейства Ри не имеют прямых комплексных аналогов. Группы типа Ли описываются в § 2.1. Остальная часть главы посвящена спорадическим группам. [15]