Cтраница 2
В предыдущем параграфе были приведены операторы ( 6) и ( 7), представляющие группу вращений трехмерного пространства в виде матриц 3-го порядка, каждая из которых имеет девять компонентов. [16]
Я к о б и ( см. Ортогональные полиномы), Ф - ции DJmm, a, f, у) являются матричными элементами неприводимого унитарного представления группы вращений трехмерного пространства. [17]
Положим, что группа G есть группа вращения трехмерного пространства. [18]
Тик, представления группы движения евклидовой плоскости связаны с цилиндрич. Особенно часто в физике используют представления группы вращений Трехмерного пространства, с ними связаны Вигнера функции, Клебша - Гордана коэффициенты и Вигнера 6 -символы, к-рые можно выразить через ортогональные полиномы непрерывного или дискретного аргумента. Вигнера удается записать с помощью полиномов Якоби или полиномов Кравчука. Клебша-Гордана и 6 / - символы Вигнера можно выразить через полиномы Хана и полиномы Рака. [19]
Дальше, однако, возникает существенное осложнение. Дело в том, что - в отличие от группы трансляций - группа вращений трехмерного пространства - это группа неабелева. Поэтому нельзя ожидать, что унитарные операторы ( 90), соответствующие поворотам вокруг различных осей, будут коммутировать. [20]
Предыдущие результаты представляются особенно важными потому, что унитарная группа ( 93) тесно связана с группой вращения трехмерного пространства, и полученный выше результат приводит нас к неприводимым линейным представлениям группы вращения. [21]
Таким образом всякому унитарному преобразованию соответствует определенное вращение трехмерного пространства, и таким образом получаются все вращения. Мы можем сказать, что формулы ( 59) определяют гомоморфизм группы унитарных преобразований с определителем единица с группой вращения трехмерного пространства. [22]
Итак, всякому унитарному преобразованию соответствует определенное вращение трехмерного пространства, и таким образом получаются все вращения. Мы можем сказать, что формулы ( 59) определяют гомоморфизм группы унитарных преобразований с определителем единица с группой вращения трехмерного пространства. [23]
Исходя из сказанного выше, можно сразу же сделать вывод, что собственные функции оператора Н могут быть представлены как линейные комбинации функций, собственных для L2 с одним и тем же собственным значением / ( / 1), а также функций, собственных для одного из операторов La, например Lz. Все это нам уже известно, однако служит теперь подтверждением тому общему заключению о структуре матриц операторов и разбиению собственных функций на подмножества, которое было сформулировано выше. В этом примере операторы L2, LX, L, и L, порождают элементы группы уравнения Шредингера для задачи об атоме водорода, отвечающие всевозможным поворотам в трехмерном пространстве. Эта группа включает также всевозможные произведения операторов поворотов и операторов отражения в плоскостях, проходящих через ядро. Операторы же L2 и La являются генераторами такой группы, т.е. такими операторами, с помощью которых можно построить все элементы группы вращений трехмерного пространства. [24]