Cтраница 2
Три лниейио-иезависимых решения этих уравнений ( &1, 2, 3) определяют бесконечно малые преобразования группы движений пространства. Векторы 6) называют векторами Киллинга ( ср. [16]
Основой всей теории функций Клейна, созданной трудами Пуанкаре, является установленное Пуанкаре положение, что группы Клейна представляют собой группы движений пространства Лобачевского. [17]
На каждой орбите О общего положения в пространстве е ( п), дуальном к алгебре Ли е ( п) группы движений пространства R, всегда имеется максимальная линейная коммутативная алгебра полиномов. Она образована всеми полиномами вида f ( X ha), где f ( X) - инвариант алгебры е ( п) и ае ( п) - ковектор общего положения. [18]
Докажите, что множество движений, состоящее из зеркальных симметрии относительно координатных плоскостей данной прямоугольной системы координат и всевозможных композиций этих симметрии, образует конечную подгруппу группы движений пространства. [19]
Термин группа симметрии имеет в физике два различных смысла, В первом смысле группа симметрии системы есть группа преобразований системы, пе меняющих ее состояния, например группа движений пространства, переводящих в себя кристаллическую решетку, или группа перестановок, меняющих местами тождественные частицы. В таких случаях группа симметрии либо измеряет степень симметричности системы, либо исправляет несовершенство нашего аппарата описания, макроскопическое происхождение которого заставляет изображать одну и ту же ситуацию по-разному и затем производить отождествление. [20]
Докажите, что множество движений, состоящее из поворотов пространства вокруг оси Oz данной прямоугольной системы координат, зеркальной симметрии относительно плоскости Оху и всевозможных композиций указанных движений, образует подгруппу группы движений пространства. [21]
Голоно-мии группа ость нек-рая подгруппа группы движений пространства Еп; римановой связностью для нек-роп римаиовой метрики на М является каждая аффинная связность, группа голономии к-рой - группа движений или нек-рая ее подгруппа. [22]
Открытие правильных многогранников, соответствующих конечным подгруппам группы движений пространства, рассматривалось как высшее достижение античной математики - описание правильных многогранников завершает Элементы Евклида. Это были самые глубокие симметрии, открытые античной математикой. То же место занимает открытие и перечисление простых групп Ли в математике нового времени - это самые тонкие симметрии, до понимания которых современная математика поднялась. И точно так же, как Платон считал тетраэдр, октаэдр, куб и икосаэдр формами элементарных составляющих четырех стихий - огня, воздуха, земли и воды ( оставляя додекаэдр как символ космоса), так современные физики пытаются при помощи свойств различных простых групп SU ( 2), SU ( 3), SU ( 4), SU ( 6) и др. найти общие закономерности в многообразии элементарных частиц. [23]
Преобразования последней группы можно рассматривать как координатные преобразования, осуществляющие внутренний автоморфизм группы. Задача определения неизоморфных с точностью до внутренних автоморфизмов подгрупп группы О15 сводится к перечислению подгрупп группы движений пространства SQ, не подобных относительно преобразований этой же группы. [24]
Смысл теоремы Герлинга ( она была установлена им в 1844 году и передоказана в 1896 году Брикаром [9]) удобнее всего пояснить с групповой точки зрения. Будем рассматривать различные группы движений трехмерного евклидова пространства R J: группу D всех движений, группу D0 сохраняющих ориентацию движений, группу Т параллельных переносов и др. Понятия G-конгруэнтности, G-равносоставленности и G-равнодополняемости ( где G - некоторая группа движений пространства Rs) определяются для многогранников так же, как для многоугольников на плоскости. [25]
Общая идеология состоит в том, что преобразование Радона проще, чем исходное пространство. Давайте посмотрим, как разлагается представление группы движений пространства Лобачевского ( группы Лоренца) в пространстве многочленов. [26]
Другой простой вид симметрии - это симметрия относительно растяжений. Настоятельно рекомендуем читателю проверить это утверждение. Заметим, что растяжения не являются элементами группы движений пространства К, так как конгруэнтность геометрических фигур не сохраняется при растяжениях. [27]
Легко видеть, что элементы двух групп, отвечающие друг другу при изоморфном соответствии, будут обладать одинаковыми свойствами по отношению к групповой операции. Так, при изоморфном соответствии нейтральный элемент, взаимно обратные элементы, элементы данного порядка тг, подгруппы одной группы переходят соответственно в нейтральный элемент, взаимно обратные элементы, элементы того же порядка п, подгруппы другой группы. Поэтому можно сказать, что абстрактная теория групп изучает лишь те свойства групп, которые сохраняются при изоморфных отображениях. Например, с точки зрения абстрактной теории групп группа всех подстановок четырех элементов и группа собственных и несобственных движений пространства, переводящих в себя фиксированный правильный четырехгранник, обладают одинаковыми свойствами, так как они изоморфны. Действительно, рассматриваемые движения переводят вершины четырехгранника снова в его вершины. Сопоставляя с каждым движением вызываемую им перестановку вершин, мы получим взаимно однозначное соответствие между элементами обеих групп, которое и будет искомым изоморфизмом. [28]
Чтобы задать группу, нужно указать: 1) какие объекты являются ее элементами и 2) закон перемножения элементов. Сообразно этому и изучение свойств групп можно производить с разных точек зрения. Такой точки зрения часто держатся при изучении отдельных конкретных групп, например при изучении свойств группы движений пространства или плоскости. Однако можно изучать и те свойства групп, которые целиком выражаются через свойства групповой операции. Эта точка зрения характерна для абстрактной или общей теории групп. Более отчетливо она может быть выражена при помощи понятия изоморфизма. [29]