Cтраница 2
Суть этого результата можно выразить так: алгебра инвариантов любой конечной группы получается из некоторой стандартной алгебры инвариантов симметрической группы специализацией параметров. [16]
Класс W конечных групп называется насыщенным, если для любой конечной группы К из К / Ф ( К) е g7 вытекает K W. Если класс & замкнут относительно образования расширений, то он насыщен. [17]
Группы подстановок особенно интересны тем, что с их помощью можно получить конкретные представления всех конечных групп. В этой главе мы увидим, что любая конечная группа изоморфна некоторой группе подстановок. [18]
Определение двойной группы 0 легко может быть перенесено на любую конечную группу поворотов. [19]
Я привел этот ответ, чтобы вы увидели, что угадать его не очень просто. Но когда вы услышите полученный Фробениусом результат, вы поймете, как можно получить его для любой конечной группы, если известны ее представления. [20]
Они образуют, очевидно, подгруппу - циклическую подгруппу, порожденную элементом а. При этом возможны два случая: либо все эти степени элемента а различны, либо среди них имеются одинаковые. Последнее наверняка будет, например, в любой конечной группе. В этом случае элемент а называется элементом k - го порядка. Если все степени элемента а различны, то он называется элементом бесконечного порядка. Таким будет, например, любой отличный от 0 эдеме т аддитивной группы целых чисел. [21]
В отличие от трехмерной группы вращений, здесь можно было бы соответствующим выбором дробных значений Q получить не только одно - и двузначные представления, но и представления трехзначные и выше. Однако физически возможные собственные значения момента импульса, как оператора трехмерного бесконечно малого поворота, определяются представлениями именно трехмерной группы вращений. Поэтому трехзначные ( и выше) представления двумерной группы вращений ( а также любой конечной группы симметрии), хотя и могут быть математически определены, но не имеют физического смысла. [22]
Группа, состоящая из л-элементов, называется п-группой. Важными подгруппами конечной группы С являются ее силовские подгруппы. Если р - наивысшая степень простого числа р, делящая IG I, и а е N, то любая подгруппа из С порядка р называется ее силовской р-подгруппой. В 3.8 утверждается, что конечная абелева группа имеет силовскую р-подгруппу для любого простого р, делящего ее порядок. Такие подгруппы существуют в любой конечной группе; см. 5.17 и 10.1.) Неединичная абелева группа, все неединичные элементы которой имеют простой порядок р, называется элементарной абелевой р-группой. [23]