Cтраница 2
С помощью установленных фактов можно построить уравнение произвольной степени с симметрической группой; основанием служит следующая теорема: транзитивная группа подстановок п-й степени, содержащая один двойной цикл и один ( п - ) - членный цикл, является симметрической. [16]
В одном из них применяется техника транзитивного расширения. Воспользовавшись ограничениями на Aut ( F) l и располагая списками транзитивных групп подстановок малых степеней ( например, [79]), иногда удается описать все возможные варианты абстрактного строения фиксатора Ant ( Г) вершины х в группе Aut ( F) а. Для каждого варианта группы Ant ( Г) определим ее действия на орбитах требуемой длины Г3 - ( а), вычислим подстановочные характеры этих действий и проверим, можно ли их продолжить до подстановочных характеров транзитивной группы. [17]
Все понятия, представленные в данном параграфе, можно дуализировать. Фактормоноид Г / ( Я) 51 / ( Я) / есть просто транзитивная группа подстановок, действующая на Я слева. [18]
Обозначим через Н подгруппу тех подстановок, которые не изменяют некоторый символ, скажем а. Обратно, если конечная группа G имеет такую подгруппу Н индекса п, что Н П хНх - 1 1 для всякого элемента группы, не содержащегося в Н, то представление группы G подстановками смежных классов по группе Н есть транзитивная группа подстановок п символов, в которой каждая подстановка однозначно определяется образами двух символов. [19]
Это утверждение ( называемое леммой Грина) вместе с двойственным к нему и есть то уточнение факта равномощности & - [ Я. Совокупность преобразований S множества X называется транзитивной [ просто транзитивной ], если для любых х, у ен X существует [ единственное ] а е S такое, что ха у. Для произвольного 3 -класса Н полугруппа Г ( Я) является просто транзитивной группой подстановок множества Я. Поскольку при аФЬ имеет место Г ( Я0) с Г ( Яь), всякую группу, изоморфную Г ( Яо), называют иногда группой Шютценберже - класса Da. Группу Г ( Я) иногда обозначают Гг ( Я), используя обозначение Г ( ( Я) для аналогичной группы, индупированной внутренними левыми сдвигами. [20]
Z, причем tz ф tz2, лишь только элементы z, z % е Z различны. Далее, группа преобразований, определяемая действием К на tZ, изоморфна Z. Поэтому группа, индуцированная на классе импримитивности р, подобна группе Z, действующей на самой себе правыми сдвигами, и, значит, это просто транзитивная группа подстановок. В силу следствия 4.13 Z подобна группе G ( C ()), где С & - конечный полный префиксный код. [21]