Cтраница 1
Аддитивная группа R вещественных чисел односвязна. [1]
Рассмотрим сперва аддитивную группу R вещественных чисел. [2]
Имеется интересное действие аддитивной группы вещественных чисел R на пространстве Т2, называемое иррациональной обмоткой и задаваемое формулой 6r ( e ix, е л1У) ( е2я х г), g Mmi), где а - иррациональное число. Это действие, очевидно, задается композицией гомоморфизма R - Т2 вида т - ( e2nir, e2Mar) с гомоморфизмом группы Т2 в группу левых сдвигов тора Т2 по себе. [3]
Относительно сложения четверки образуют прямую сумму четырех аддитивных групп вещественных чисел, то есть коммутативную группу. [4]
Рассмотреть эту же задачу, заменив Т аддитивной группой вещественных чисел, и показать, что если Я И 0, то представление ( Я, U) не может быть неприводимым. [5]
Доказательство этого утверждения тривиально, если Т - аддитивная группа вещественных чисел, или ее факторгруппа по модулю 2я ( или по любому другому отличному от нуля модулю), или конечное произведение таких трупп. Этими случаями исчерпываются все приложения в кассическом анализе. [6]
Отображение /: R - - Г5О ( 2) аддитивной группы вещественных чисел на группу Т вращений плоскости с неподвижной точкой 0, задаваемое формулой / ( А) Ф ( Ф - вращение против часовой стрелки на угол 2лЯ), гомоморфно, так как Фл ( 1) м - ФА. [7]
Как известно, в классе архимедовски упорядоченных групп существует максимальная группа - аддитивная группа вещественных чисел, не содержащаяся в качестве упорядоченной подгруппы ни в какой большей архимедовски упорядоченной группе. [8]
Мультипликативная группа R всех вещественных чисел 0 есть топологическая группа, изоморфная аддитивной группе R вещественных чисел. [9]
В самом деле, группа В / А архимедова и потому изоморфна некоторой подгруппе аддитивной группы вещественных чисел. Главные эндоморфизмы В / А продолжаемы до автоморфизмов всей группы вещественных чисел. Но упорядоченные ( возрастающие) и обратно упорядоченные автоморфизмы группы вещественных чисел образуют поле вещественных чисел. Поэтому К ( А) изоморфно некоторому подполю поля вещественных чисел и свойство 6) выполняется. [10]
Используя прямое произведение групп, можно утверждать, что аддитивную группу векторов на плоскости допустимо рассматривать как прямое произведение аддитивной группы вещественных чисел на себя. [11]
В работах Е. Г. Гонина и Н. Е. Домошницкой [198-200] рассматриваются системы обобщенного измерения линейно упорядоченной полугруппы G - ее сохраняющие порядок гомоморфизмы в аддитивную группу вещественных чисел. [12]
С операцией сложения никаких трудностей не возникает, поскольку множество троек вещественных чисел с заданной на нем операцией сложения можно рассматривать как прямое произведение трех аддитивных групп вещественных чисел. При умножении третья компонента произведения 1 ( я, Ь, х) ( с, d, у) ] ( е, /, и) равна аси f ( oy dx), а третья компонента произведения ( а, Ь, х) [ ( с, d, у) ( е, /, и) ] равна а ( си fy) dfx. Нетрудно видеть, что обе компоненты совпадают. [13]
Лагранжева иммерсия L 4 T Rn наряду с отображением Гаусса L - ЛП5 задает отображение L - K ( R, 1) в пространство Эйленбер-га - Маклейна ( S. MacLane) аддитивной группы вещественных чисел ( Ki ( K ( R, 1)) R, 7Tk ( K ( R 1)) 0 при fe 1), определяемое гомоморфизмом фундаментальных групп 7Ti ( L) - Hi ( L, Q) - R. [14]
Эти теоремы довольно полно вскрывают структуру локально компактных групп. Для локально связных групп результат оказывается совершенно окончательным: всякая локально компактная, локально связная и связная коммутативная группа со второй аксиомой ( четности есть прямая сумма векторной группы и конечного или счетного числа групп К, изоморфных фактор-группе аддитивной группы вещественных чисел по подгруппе целых чисел. Отсюда, в частности, следует, что коммутативные r - членные группы являются группами Ли, и, таким образом, пятая проблема Гильберта для коммутативных групп оказывается решенной. [15]