Cтраница 2
Задача построения графов с заданной группой автоморфизмов и какими-либо дополнительными свойствами имеет не только теоретический интерес, но и практические приложения, например, к вопросам синтеза различных систем и устройств. Более общая теоретическая проблема состоит в изучении связи между строением графов некоторого заданного класса и свойствами их групп автоморфизмов; сюда относится результат Чанга и Эренфойхта [91]: Абелева группа тогда и только тогда изоморфна группе автоморфизмов отношения простого упорядочения, когда она изоморфна прямому произведению некоторых подгрупп аддитивной группы вещественных чисел. [16]
Предположим, что подгруппа Д Г П Z отлична от единичной. Покажем, что тогда орисфера С компактна. В самом деле, орисферическая подгруппа Z изоморфна аддитивной группе вещественных чисел; отсюда непосредственно следует, что ее фактор-группа по подгруппе Л компактна, если последняя нетривиальна. Но тогда и орисфгра С, будучи непрерывным образом компактного множества Z / A, также компактна. [17]
В данном разделе рассматриваются вопросы о присоединенном представлении локальной однопараметрической группы преобразований с использованием формулы Бейкера-Кэмпбелла - Хаусдорфа, но в отличие от работ [28, 32] здесь она связывается с формулой Коши, широко применяемой в теории линейных систем. Данный подход позволяет получить локальный аналог переходной матрицы состояния для нелинейных аффинных систем управления. Напомним, что локальная однопараметрическая группа преобразований является представлением аддитивной группы вещественных чисел R на многообразии М в виде ее действий на элементы многообразия. Присоединенное представление дает возможность реализовать конструктивный алгоритм нахождения этого действия. [18]
Попутно заметим здесь, что А. Эренфойхту принадлежат некоторые исследования относительно групп автоморфизмов упорядоченных множеств. В частности, в совместной статье с Чангом ( Чанг - Эренфойхт [1]) доказывается, что абелева группа тогда и только тогда является группой автоморфизмов некоторого линейно упорядоченного множества, когда эта группа изоморфна прямому произведению некоторых подгрупп аддитивной группы вещественных чисел. [19]
Сохранение групповой операции следует из закона сложения комплексных чисел: ( а - Ф - Ы) 4 - ( с - Ф ф - di) ( а с) ( Ь d) i. Ясно, что при отображении а - Ф - Ы - b множество образов совпадает с множеством всех вещественных чисел, то есть отображение а - ф - Ы - - Ъ является эпиморфизмом. Ядро этого эпиморфизма образуют комплексные числа, переходящие при отображении в нуль, то есть комплексные числа с нулевой мнимой частью, или вещественные числа. Следовательно по теореме о гомоморфизмах, факторгруппа аддитивной группы комплексных чисел по аддитивной группе вещественных чисел изоморфна группе вещественных чисел. [20]