Cтраница 1
Гиперболические группы имеют много интересных свойств; из которых мы упомянем лишь два следующих. [1]
Рост гиперболической группы либо константный ( если группа конечна), либо экспоненциальный. [2]
В любой гиперболической группе разрешима проблема сопряженности. [3]
Это позволяет изучать гиперболические группы геометрическими методами: в действительности оказывается, что гиперболические группы есть в точности фундаментальные группы пространств отрицательной кривизны. [4]
Пусть G - гиперболическая группа, заданная конечным представлением ( 13), относительно которого работает алгоритм Дэна. Тогда существует число Q, которое эффективно вычислимо по ( 13), такое, что для произвольного квадратичного уравнения Ф 1 вида ( 8) или ( 9) можно эффективно найти конечное семейство параметрических решений этого уравнения в G, которое удовлетворяет следующим условиям. [5]
Гипотеза Новикова справедлива для гиперболических групп Громова. [6]
Однако более удивительно, что гиперболические группы всегда конечно определены. [7]
С точки зрения диаграмм сокращения гиперболические группы могут быть охарактеризованы следующим образом. [8]
Наличие такого алгоритма для класса гиперболических групп позволяет для любого автоморфизма cp AutG определить, является ли он внутренним. Этим замечанием мы воспользуемся ниже для доказательства того, что проблема равенства слов разрешима в группах классов отображений компактных поверхностей. [9]
Значение этой теоремы определяется многочисленностью гиперболических групп ( ср. [10]
Сейчас мы приведем метод построения ко-компактных дискретных гиперболических групп ( имеющих компактный орбифолд Hn / G), применимый в любой размерности. Этот метод основан на некоторой арифметической конструкции, восходящей при п 2 к работам Фрике [1] и Бьянки [1] ( см. также Фрике и Клейн [1]) и при п З к работам Б. А. Венкова [1, 2] и рассматривающей группы автоморфизмов неопределенных квадратичных форм. Дальнейшее его развитие см. в работах Мостова, Тамагавы [1] и Бореля [ 1J ( ср. [11]
Пусть G - свободная от кручения гиперболическая группа, a GO - конечно порожденная неабелева группа, не являющаяся нетривиальным свободным произведением. [12]
Централизатор C ( g) произвольного элемента в гиперболической группе G является конечно порожденным. Если гиперболическая группа задана представлением ( 13), относительно которого выполнен алгоритм Дэна, то конечное множество порождающих централизатора C ( g) может быть найдено эффективно. [13]
Громова [4] к теории малых сокращений выделяет новый класс групп ( гиперболические группы, которые, в частности, могут рассматриваться и как группы изометрий пространств переменной отрицательной кривизны с компактными факторпространствами), имеющий большие перспективы в решении проблем тождества, сопряженности и изоморфизма групп. [14]
Кроме того, эта теорема дает новое доказательство гипотезы Новикова для гиперболических групп. [15]