Cтраница 2
Множество всех конечно представленных групп счетно, и поэтому существует счетная группа Я ( например, прямое произведение всех конечно представленных групп), содержащая изоморфные копии всех конечно представленных групп. Теперь по теореме 2.2.6 эта счетная группа может быть вложена в группу G с двумя образующими, и нетрудно видеть, что группа G задается реккурсивно перечислимым множеством определяющих соотношений. [16]
После удаления повторений в этом ряде мы получим в Я ряд из 2 - ДОпустимых подгрупп, в каждом факторе которого Y действует как квазистабильное множество. Так как все эти факторы - счетные группы, то теперь можно заключить, что относительно каждого из них Y - стабильное множество. [17]
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 1.4.8. Любые две равномощные несчетные полные абелевы группы без кручения изоморфны. Имеется, однако, счетное множество попарно неизоморфных счетных групп этого типа. [18]
С помощью теоремы Ремака отсюда легко вывести, что в Г имеется центральная система из инвариантных в Ф подгрупп. Случай, когда Ф имеет конечное число образующих и G - счетная группа, разобран. [19]
Рассмотрим конечно порожденные и конечно определенные группы. Любая подгруппа конечно порожденной группы счетна. Произвольная счетная группа G вложима в 2-порожденную группу Я. При этом, если группа G задана п определяющими соотношениями, то и Я можно задать п определяющими соотношениями. Существует бесконечное счетное множество неизоморфных 2-порожденных групп. [20]
Если конечно порожденная группа G есть расширение абелевой группы посредством полициклической группы, то на группе Aut G выполнена альтернатива Титса: произвольная конечно порожденная подгруппа Я: g; Aut G либо содержит F2, либо почти разрешима. К - конечная группа, вложимо в группу Aut G для некоторой конечно порожденной разрешимой группы G. Можно ли вложить любую счетную группу Я в группу Aut G для подходящей конечно порожденной разрешимой группы G, пока не известно. [21]
Если конечно порожденная группа G есть расширение абелевой группы посредством полициклической группы, то на группе Aut G выполнена альтернатива Титса: произвольная конечно порожденная подгруппа Я Aut G либо содержит FZ, либо почти разрешима. Прямое сплетение Н Кг2, где К - конечная группа, вложимо в группу Aut G для некоторой конечно порожденной разрешимой группы G. Можно ли вложить любую счетную группу Я в группу Aut G для подходящей конечно порожденной разрешимой группы G, пока не известно. [22]
В сердечнике группы расположены последовательными концентрическими повивами, при этом направление скрутки каждого последующего повива противоположно предыдущему. Повивы отделены друг от друга спиралью из хлопчатобумажной пряжи. В каждом из них имеется счетная группа, отличающаяся от других групп данного повива расцветкой изоляции одной из жил. [23]
Группы скручены концентрическими повивами в кабель, а смежные повивы - в противоположные стороны. Повивы отделены друг от друга спиралью из хлопчатобумажной пряжи. В каждом из них имеется две счетные группы, отличающиеся от других групп данного повива расцветкой изоляции одной из жил. [24]
Свою первую, написанную еще в студенческие годы, работу по математической логике А. И. Мальцев [1 ] посвятил доказательству двух теорем, обобщавших результаты Геделя и Сколема. Вторая его привлекала именно потому, что непосредственно допускала алгебраическое истолкование: он из нее сделал заключение, что всякое бесконечное алгебраическое тело имеет расширения. Теорема, о которой идет речь, гласит, что если выполнима всякая конечная часть некоторой бесконечной системы предложений, допускающих выражение средствами узкого исчисления предикатов, то выполнимой является и вся система. А имеет место и для всей области-могут быть получены из этого предложения как непосредственные следствия. Для доказательства их достаточно убедиться в том, что утверждение о справедливости свойства А для какой-нибудь области может быть записано в виде системы предложений, содержащих - кроме знаков для индивидуальных предикатов и индивидуальных предметов и знака равенства - логические связки и, или, если... Такой общий подход к локальным теоремам не только позволил А. И. Мальцеву получить сразу ряд теорем, доказанных ранее весьма частными приемами ( в том числе; например, теорему Шура о том, что всякая периодическая группа матриц над полем характеристики нуль содержит абелев нормальный делитель конечного индекса), но и непосредственно усмотреть, что некоторые из них имеют место и в более широких условиях. Так, в доказательстве по методу А. И. Мальцева теоремы Черникова: если всякая подгруппа локально-конечной группы g имеет силовское множество, то силовскую систему имеет и сама группа g - локальная конечность нигде не используется. Для доказанного первоначально Бэром только для счетных групп предложения о расширении структурного изоморфизма Л. Е. Садовским было указано впоследствии доказательство, годное и для несчетных групп. По методу А. И. Мальцева предложение Бэра доказывается сразу, буквально в несколько строк, в самых общих предположениях. [25]
Обозначим через К группу всех комплексных чисел с единичным модулем по умножению. Пусть G-локально компактная коммутативная группа со второй аксиомой счетности. Непрерывное гомоморфное отображение G в К называется характером G. Совокупность всех характеров р ( g), удовлетворяющих требованию р ( F) с U, называем по определению окрестностью нуля в у. В силу этой топологии группа у оказывается снова локально компактной и со второй аксиомой счетности. Если G дискретна, то группа характеров / будет компактна, если G компактна, то у дискретна. При фиксированном р это будет характер группыО, а при фиксированном g и меняющемся р мы получим характер группы у. Центральный результат теории характеров состоит в том, что различные элементы G дают различные характеры группы у и что все характеры у ими исчерпываются. G есть группа характеров у. Операция взятия группы характеров устанавливает взаимно однозначное отображение класса локально компактных коммутативных групп со второй аксиомой счетности на себя. При этом отображении компактные группы переходят в дискретные, и таким образом, например, задача классификации компактных групп оказывается равносильной задаче классификации абстрактных счетных групп. [26]