Cтраница 1
Обобщенная группа кватернионов ( частным случаем к-рой при п2 является К. [1]
Если Р - обобщенная группа кватернионов, то СР ( Т) - либо циклическая группа, либо неабелева группа. Предположим, что Ср ( Т) - циклическая группа. [2]
Как известно, такую же функцию Пуанкаре имеет обобщенная группа кватернионов. [3]
Таким образом, случаю / - 1 соответствует обобщенная группа кватернионов или группа диэдра ( типы 4 и б) соответственно. [4]
Если силовская 2-подгруппа S конечной группы С является обобщенной группой кватернионов порядка, большего 8, то группа С непроста. [5]
Пусть, наконец, п 5 н Рг - подгруппа индекса 2, являкН щаяся обобщенной группой кватернионов. [6]
Далее будем рассматривать разрешимые группы, у которых любая подгруппа порядка pq циклическая и силовская 2-подгруп-па - либо группа кватернионов, либо обобщенная группа кватернионов. [7]
Если система G Н является 2-транзитивной, то число п - Q четно, и силовские 2-подгруппы групп G, Н - обобщенные группы кватернионов. [8]
Объединяя утверждения 2 - 4 и учитывая, что все группы порядков pkql при простых р, q разрешимы, а минимальный порядок обобщенной группы кватернионов равен 8, получим следующее утверждение. [9]
То, что соотношения теоремы 12.5. 1 определяют группы, легко проверяется при помощи теоремы 6.5 - 1 DO всех случаях, кроме случая обобщенной группы кватернионов. [10]
Множество всех равных по норме единице кватернионов вида ( 0, w2) или ( а1, 0) образует подгруппу S в S3, состоящую из двух компонент. В частности, можно показать, что всякая конечная подгруппа в S должна быть или циклической, или диэдральной, или обобщенной группой кватернионов. [11]
Осталось рассмотреть случай, когда по предположению индук -; иии каждая подгруппа Р индекса 2 является обобщенной груп пой кватернионов. Покажем, что такого положения быть не может. Здесь п 4, Пусть сперва пА и Q - обобщенная группа кватернионов индекса 2, а с - элемент, не принадлежащий Q. Если c lac at то а, с ] - абелева подгруппа индекса 2, что противоречит условию. Если же с - 1аса - 1, то ( cb) - l a ( cb) a, и ( a, cb - абе - лева подгруппа индекса 2, что опять противоречит условию. [12]
Четность числа п следует из утверждения 3, если учесть, что любая группа нечетного порядка разрешима ( в силу известной теоремы Файта-Томпсона), а коммутант разрешимой подгруппы не может совпадать с самой группой ( в силу определения разрешимой группы, см. [3], стр. Тогда по теореме 12.5.2 из [3] они могут быть либо циклическими, либо обобщенными группами кватернионов. [13]
Доказательство, Пусть Р - группа порядка рп, содержащая. Если при р2 группа Р содержи - циклическую подгруппу Р1 индекса 2, то, согласно теореме 12.5.1; группа Р принадлежит одному из типов 1 - 7 при р 2, при чем группы каждого из этих типов, кроме циклической группы; и обобщенной группы кватернионов, содержат больше одной подгруппы порядка 2, Таким образом, Р - или циклическая группа; или обобщенная группа кватернионов. [14]
Доказательство, Пусть Р - группа порядка рп, содержащая. Если при р2 группа Р содержи - циклическую подгруппу Р1 индекса 2, то, согласно теореме 12.5.1; группа Р принадлежит одному из типов 1 - 7 при р 2, при чем группы каждого из этих типов, кроме циклической группы; и обобщенной группы кватернионов, содержат больше одной подгруппы порядка 2, Таким образом, Р - или циклическая группа; или обобщенная группа кватернионов. [15]