Cтраница 2
В конце предыдущего параграфа мы видели, как накопленная нами информация может быть использована для нахождения стабильных гомотопических групп пространств. Зная когомологии пространства X mootp, мы можем довольно легко найти стабильную часть когомологии первого убивающего пространства, затем второго, третьего и так далее. Теорема Гуревича каждый раз дает нам соответствующую группу гомологии. Этот ме-тод ( метод Серра) не позволяет, однако, вычислять гомотопические группы без преодоления других трудностей. [16]
Ссылка на следствие 3 здесь не вполне убедительна, поскольку оно, во-первых, не доказывается и, во-вторых, не покрывает перечисленных утверждений о гомотопических группах пространства BSGn. Впрочем, все эти утверждения локазываются элементарными средствами. Пространство же 5О естественно расслаивается над S - со слоем, гомотопически эквивалентным компоненте пространства Q S кратных ПР-тель сферы. [17]
Для бесконечных комплексов X гомотопический класс отображения X в BG есть элемент проективного предела множеств гомотопических классов отображений конечномерных остовов X. Такое описание возможно благодаря конечности гомотопических групп пространства BG -) ( см. гл. [18]
Как нам известно, гомотопические группы пространства не определяют полностью его гомотопический тип. Исключение составляют два случая: когда все гомотопические группы пространства тривиальны, и когда нетривиальна только одна гомотопическая группа. В этом случае пространство восстанавливается по своим гомотопическим группам с точностью до слабое гомотопической эквивалентности. [19]
Теперь рассмотрим высшие гомотопические группы пространства X. Они, вообще говоря, являются про-коиечными группами. Их удается связать с гомотопическими группами пространства X ляшь при сильных ограничениях на фундаментальную группу пространства X. Мы будем предполагать, что все гомотопические группы пространства X ( включая и фундаментальную) являются конечно порожденными абелевыми группами. [20]
Свойству Серра расслоения соответствует возможность накрыть типичную деформацию множества вещественных корней многочлена ( которые при этом могут исчезать парами) деформацией самого многочлена. Изоморфизму Понтрягина между гомотопическими группами сфер и группами ко-бордизмов оснащенных многообразий соответствует в теории вещественных алгебраических функций одной переменной изоморфизм между гомотопическими группами пространства функций с умеренными особенностями и группами кобордизма плоских кривых без горизонтальных касательных перегиба ( см. статью Арнольд В. И. Пространства функций с умеренными особенностями. Но этот пример наталкивает на мысль, что аналогия простирается значительно дальше и может быть формализована в виде соответствующего исчисления особенностей. [21]
Теперь рассмотрим высшие гомотопические группы пространства X. Они, вообще говоря, являются про-коиечными группами. Их удается связать с гомотопическими группами пространства X ляшь при сильных ограничениях на фундаментальную группу пространства X. Мы будем предполагать, что все гомотопические группы пространства X ( включая и фундаментальную) являются конечно порожденными абелевыми группами. [22]