Cтраница 1
Мультиоператорная группа, в которой выполняются лишь первые два условия, называется абелевой 2-группой. [1]
Мультиоператорная группа называется группой без центра, если ее центр совпадает с нулевой подгруппой. [2]
Доказательства для мультиоператорных групп - такие же, как и для групп без операторов, и основаны они все на той же лемме Цасенхауза. Эта лемма, а также теорема об изоморфизмах остаются справедливыми для произвольных 2-групп. [3]
В теорию мультиоператорных групп переносятся многие теоремы об изоморфизмах прямых разложений. Мы не будем здесь формулировать такие теоремы; отметим лишь, что вопрос об изоморфизмах прямых разложений имеет также прямое отношение к нашей теме. [4]
Частными случаями мультиоператорных групп являются группы, модули, кольца. [5]
Важным понятием, связанным с представлениями относительно мультиоператорных групп, является понятие приводимости представления. Эти новые пары дают некоторую информацию об исходной паре, а в отдельных случаях даже полностью ее определяют. [6]
Часто для того, чтобы специально отметить систему операторов 2, мультиоператорную группу называют Q-группой. [7]
Легко понять, каким образом группы и кольца включаются в общее определение мультиоператорных групп. Вообще же понятно, что й-группы служат в известной степени обобщением колец в том отношении, что сложение не обязательно коммутативно и вместо одного умножения имеется много умножений, роль которых играют операции из системы Q. Заметим еще здесь, что введенные в предыдущем параграфе Й - полугруппы ( мультиоператорные полугруппы) также можно рассматривать как обобщение колец. [8]
Для некоторых классов алгебр, в том числе для групп, колец и вообще мультиоператорных групп, может быть доказана перестановочность всех их кон-груепцнй. Структуры конгруенций алгебр, обладающих этим свойством, являются дедекиндовыми. [9]
Для некоторых классов алгебр, в том числе для групп, колец и вообще мультиоператорных групп, может быть доказана перестановочность всех их кон-груенцнй. Структуры конгруенций алгебр, обладающих этим свойством, являются дедекиндовыми. [10]
Нетрудно видеть, что пересечение любого множества идеалов Й - группы снова является идеалом, причем имеет место следующее правило: если ра - набор конгруэнции мультиоператорной группы и Яа - отвечающие этим кон-груэнциям идеалы, то идеал, отвечающий пересечению всех ра, совпадает с пересечением всех Яа. Композит идеалов является идеалом и совпадает с подгруппой аддитивной группы G, порожденной аддитивными группами исходных идеалов. [11]
Для мультиоператорных групп ( в частности, для колец) и для решеток, в отличие от полугрупп, всегда предполагается, что рассматриваемое частично упорядоченное множество идеалов не содержит нулевого идеала. [12]
Понятие полной прямой суммы алгебр применимо, в частности, и к 2-группам. Однако для мультиоператорных групп имеется еще возможность, так же как и в случае групп, говорить о прямых разложениях. [13]
Понятно, что это равносильно абсолютной простоте соответствующей мультиоператорной группы, определенной в § 1.2. Именно такого типа неприводимость мы и будем называть неприводимостью представления. Эта неприводимость является также отрицанием той приводимости, которой был посвящен предыдущий пункт. Аналогично обстоит дело и для представлений 2-почти колец. Из определения Г - ( или / композиционного фактора в области действия G непосредственно следует, что индуцированные представления относительно таких факторов неприводимы. [14]
Параллельно суммированию пар, области действия которых - мультиоператорные группы, определяются также и разложения таких пар. [15]