Cтраница 2
Первая часть более независима. В начале книги, во вводной первой главе, собраны все нужные нам сведения об общих алгебраических системах, в частности, об универсальных алгебрах, мультиоператорных группах и моделях. [16]
Конечно, связь между мультиоператорами и групповыми операциями, задаваемая условием ( 5), чрезвычайно слаба. Оказалось, однако, что все параллельно развивающиеся разделы теории групп с операторами и теории колец ( их, впрочем, не очень много) могут быть изложены сразу для любых мультиоператорных групп ( X и г г и н с, Proc. [17]
Теперь определим вполне приводимые представления. Представление группы Г или 2-почти кольца К относительно Q-группы G называется вполне приводимым, если для всякого допустимого идеала А в G имеется допустимое дополнение В - допустимый идеал в G такой, что Af B 0 и A - - B G. Поэтому все сказанное о вполне приводимых мультиоператорных группах во второй главе применимо к теории вполне приводимых представлений. В частности, представление в том и только в том случае вполне приводимо, когда G распадается в прямую сумму минимальных допустимых идеалов. Зная действия Г ( или К) в этих прямых слагаемых, мы однозначно восстанавливаем ее действие во всей группе G. При этом представления относительно таких слагаемых неприводимы лишь в том смысле, что в каждом из них нет допустимых идеалов. Вполне приводимые представления-это в известном смысле простейший тип представлений. В классической теории такие представления тесно связаны с унитарными представлениями. [18]
Отображение Р ( ал) есть изоморфизм Г в полное прямое произведение всех Га. Разложимость представления равносильна, очевидно, разложимости в прямую сумму мульти-операторной 2, Г - ( или Q, -) группы G. При этом теоремы об изоморфизмах разложений мультиоператорных групп - теоремы типа Рем ака - Шмидта - превращаются в случае представлений в теоремы об эквивалентности наборов индуцированных представлений, отвечающих различным разложениям. [19]
Пусть в 2-группе G задана система 2-подгрупп [ - 4J, к которой принадлежат нулевая подгруппа 0 Л0 и сама группа G A, и пусть эта система упорядочена по отношению к теоретико-множественному включению. Скачком в системе [ Аа ] называется такая пара ее членов - обозначим их через Аа и Ла 1, - что между ними нет других членов этой системы. Известно, что каждую упорядоченную по включению систему 2-подгрупп мультиоператорной группы можно пополнить. [20]
Особую роль с точки зрения теории представлений играют при этом теоремы типа теоремы Жордана - Гельдера. Такие теоремы указывают условия, при которых фактор-представления, связанные с различными нормальными рядами с точностью до эквивалентности представлений, определяются однозначно. Все эти теоремы выводятся непосредственно из соответствующих теорем теории мультиоператорных групп. [21]
Под алгебраической системой, или структурой, в настоящей книге мы понимаем, как это сейчас принято, множество с некоторым набором алгебраических операций и отношений, определенных на этом множестве. В последнее время все более возрастает интерес к различным новым типам алгебраических систем, и теперь уже группы, так же как и кольца, - это только частные представители общего семейства таких систем. Вместе с тем группы все еще продолжают находиться на особом положении. Во-вторых, структура группы является одной из составных частей многих важных алгебраических систем, охватываемых, например, общим понятием мультиоператорной группы. И, наконец, что для нас особенно важно, совокупность всех автоморфизмов каждой индивидуальной алгебраической, и вообще математической, структуры есть группа. [22]
Эти три типа свойств тесно связаны между собой. Уже теория Галуа демонстрирует, насколько глубокими могут быть эти связи. Особое внимание в первой части уделяется тому случаю, когда область действия G является муль-тиоператорной группой. Введенные недавно Хиггинсом мультиоператорные группы оказались здесь весьма удобным объектом для обобщений. [23]