Cтраница 1
Четверная группа Клейна содержит 3 нетривиальные собственные подгруппы-любой ее неединичный элемент вместе с тождественной подстановкой образует подгруппу. Циклическая группа С4 содержит одну нетривиальную собственную подгруппу, а С5 не содержит нетривиальных собственных подгрупп. [1]
В частности, четверная группа ( Клейна) V4, о представлениях которой упоминалось в задаче 2 из § 2 гл. [2]
Группа V4 носит четверной группы Клейна. [3]
Группу Н называют четверной группой или группой Клейна. [4]
Здесь я; являются элементами четверной группы Клейна, содержащейся в L2 ( 3), и, поскольку она инвариантна, эта подгруппа нормальна в группе / - 2 ( 3), которая, следовательно, не проста. В этом случае представление на р элементах не точно, так как оказывается, что б действует тождественно. [5]
Таким образом, одним из представлений четверной группы является некоторое множество движений правильного тетраэдра, в результате которых он совмещается со своим первоначальным положением, а именно вращений на 180 вокруг медиан. Можно показать, что три эти медианы пересекаются в одной точке и попарно перпендикулярны. Поэтому можно считать, что четверная группа состоит из вращений взаимно перпендикулярных осей, в результате которых оси совмещаются со своим исходным положением. [6]
Группа, изоморфная Z2xZ2, называется четверной группой. [7]
Как и в предыдущем примере группы С4, представление четверной группы с помощью подстановок подсказывает конкретную интерпретацию, основанную на перемещениях четырех объектов. Тождественная подстановка mt оставляет все вершины в первоначальном положении. Правильный тетраэдр можно перевести из начального положения в положение, соответствующее результату подстановки / п2, вращением на 180 вокруг оси АВ, изображенной на рис. 10.4 Ось АВ проходит через середины двух противоположных ребер 1 - 2 и 3 - 4, Мы будем называть ее медианой тетраэдра. [8]
Любая группа, состоящая из четырех элементов, изоморфна либо четверной группе Клейна либо циклической группе четвертого порядка. [9]
Но эти движения, как мы уже видели, дают конкретное представление четверной группы ( стр. Следовательно, четверная группа является подгруппой группы тетраэдра. [10]
Остается еще выяснить, есть ли у группы Q подгруппы, изоморфные четверной группе. Ответ на этот вопрос отрицательный, поскольку мы знаем, что четверная группа содержит три различных элемента порядка 2 ( стр. [11]
Эти три отображения вместе с тождественным отображением также образуют группу; это тоже четверная группа, но определенная совсем другим способом. Разумеется, мы можем поступить и так; нужно лишь в каждом случае отдавать себе отчет в том, что именно мы делаем. [12]
Поскольку группа D2 порядка 4 встречается довольно часто, она получила специальное название четверной группы. Ее также называют квадратичной группой из-за показателя 2 в ее соотношениях. [13]
Но в определяющих соотношениях ( 1) группы Q мы сразу узнаем определяющие соотношения четверной группы, и поэтому подгруппа Н группы Q нормальна. Все циклические подгруппы порядка 4 также нормальны, поскольку порядок группы Q равен 2 - 4 ( см. упр. Таким образом, все подгруппы1) неабелевой группы Q являются нормальными. [14]
Такая группа изоморфна подгруппе N, рассмотренной в задаче 1е из раздела 4.2, - так называемой четверной группе Клейна. Следовательно, существуют 2 группы четвертого порядка. [15]