Cтраница 2
Для нашей конструкции жизненно важен тот факт, что по модулю некоторого ядра К порядка 4 группа N является нормализатором некоторой четверной группы в Монстре. [16]
В следующем разделе мы рассмотрим совокупность всех самосовмещений правильного тетраэдра - группу тетраэдра - и увидим, что группа тетраэдра содержит четверную группу в качестве своей подгруппы. [17]
Но эти движения, как мы уже видели, дают конкретное представление четверной группы ( стр. Следовательно, четверная группа является подгруппой группы тетраэдра. [18]
Множество / С образует группу относительно операции умножения перестановок. Она называется четверной группой Клейна. [19]
Она называется четверной группой. [20]
Первые два соотношения дают равенства г - г - 1, s s 1, а последнее можно переписать в виде rsrs ( rs) 2 I. Читатель без труда узнает в них определяющие соотношения четверной группы ( стр. [21]
Число классов равно 5; поэтому имеется пять представлений. Нормальная подгруппа 1, j2 определяет в качестве факторгруппы четверную группу Клейна, обладающую четырьмя характерами, дающими четыре представления. [22]
Остается еще выяснить, есть ли у группы Q подгруппы, изоморфные четверной группе. Ответ на этот вопрос отрицательный, поскольку мы знаем, что четверная группа содержит три различных элемента порядка 2 ( стр. [23]
Необходимо проводить четкое различие между несвязными группами, которые не представляют реальные взаимодействия высокого порядка, и между неприводимыми групповыми функциями, которые нельзя свести к несвязным группам. Так, например, в выражении парного приближения ( 102) имеется четверная группа 1234 - 6 12 34 ( ср. [24]
Необходимо проводить четкое различие между несвязными группами, которые не представляют реальные взаимодействия высокого порядка, и между неприводимыми групповыми функциями, которые нельзя свести к несвязным группам. Так, например, в выражении парного приближения ( 102) имеется четверная группа Mi234 6i712i734 [ ср. [25]
Из аксиом группы тогда следует, что abfI a b следовательно, ab с и, аналогично, Ъа с. Итак, ab Ьа, и в группе G выполнены все соотношения, определяющие четверную группу. Так как других соотношений нет, то G совпадает с четверной группой. [26]
Таким образом, одним из представлений четверной группы является некоторое множество движений правильного тетраэдра, в результате которых он совмещается со своим первоначальным положением, а именно вращений на 180 вокруг медиан. Можно показать, что три эти медианы пересекаются в одной точке и попарно перпендикулярны. Поэтому можно считать, что четверная группа состоит из вращений взаимно перпендикулярных осей, в результате которых оси совмещаются со своим исходным положением. [27]
Из аксиом группы тогда следует, что abfI a b следовательно, ab с и, аналогично, Ъа с. Итак, ab Ьа, и в группе G выполнены все соотношения, определяющие четверную группу. Так как других соотношений нет, то G совпадает с четверной группой. [28]
Из этих свойств следует, что А можно диагонализировать на пространстве ст, и каждое отдельное собственное значение определяет подпространство пространства tfjj, инвариантное относительно действия группы С. При благоприятных обстоятельствах эти инвариантные подпространства являются также неприводимыми. Классическим примером этой структуры в молекулярной физике является диа-гонализация оператора Гамильтона для асимметричного ротатора А aJ ft / 2 с-1 на пространстве; в этом случае G изоморфна клейновской четверной группе и имеет инвариантное действие /, - Х /, X - 1, XjX2X3 1 на оператор А. Молекулярная задача с возмущением (7.10.271) относится к описанному выше типу. [29]
Доказательство теоремы проводится следующим образом. Сначала показывается, что D - класс корневых инволюций, а затем применяется теорема о корневых инволюциях с последующей проверкой, какие именно группы из соответствующего списка удовлетворяют заданным условиям. Учитывая строение группы ( х, у, нетрудно проверить, что существует сопряженный с х или у в группе ( х, у) элемент и такой, что ( х, и - четверная группа с г - хи. [30]