Cтраница 4
Второе предложение получается следующим образом. В силу условия минимальности для нормальных делителей, группа Ф / Г конечна. Так как Г - стабильная группа, то остается сослаться на первое предложение. [46]
Так как Ф - слабо стабильная группа и Н - конечномерный подмодуль, то 2 - финитно стабильная группа. Учитывая, что представление 2 относительно Н является точным, теперь заключаем ( по теореме Калу-жнина), что 2 - нильпотентная группа, так что Ф - локально нильпотентная группа. Поскольку OG ( Г) является слабо стабильной группой, для рассматриваемого случая теперь получаем, что OLQ ( Г) - локально нильпотентная группа. То же самое можно сказать и про PG ( Г), так как этот радикал порождается квазистабильными нормальными делителями, и квазистабильная группа всегда является слабо стабильной группой. [47]
А есть центральный ряд в А. Очевидно, что указанный ряд является стабильным рядом относительно действующей группы А. Этим установлено, что Н - локально финитно стабильная группа. Допустим, с другой стороны, что выполнено последнее свойство. [48]
Пусть ряд [ Яа ] вС удовлетворяет условиям теоремы, и пусть S-подгруппа в Г, порожденная конечным нильмножеством У. По предыдущему, группа 2 стабильна относительно каждого Нл 1 / Нл. Поэтому, если каждое конечное подмножество из Г является нильподмножеством, то Г - локально стабильная группа. Обратное уже отмечалось, причем даже для квазистабильности, так как мы видим одновременно, что в рассматриваемой ситуации квазистабильность равносильна локальной стабильности. [49]
Этот ряд при некотором п доходит до нуля группы G, и все его члены 22-допустимы. Так как 22 - финитно стабильная группа, то, очевидно, и в каждом факторе IG, 2X; i ] / [ G, Si5 i 1 ] группа 22 действует как финитно стабильная группа. Отсюда следует, что приведенный выше ряд можно уплотнить до конечного 22-стабильного ряда. Такой новый ряд будет стабильнщм и относительно что и доказывает, что произведение 2Х22 - финитно стабильная группа. [50]