Cтраница 1
Комплексная алгебраическая группа, связная в вещественной топологии, неприводима. [1]
Комплексная алгебраическая группа редуктивна тогда и только тогда, когда ее радикал является тором. [2]
Всякая комплексная алгебраическая группа является неособым алгебраическим многообразием. [3]
Всякая компактная комплексная алгебраическая группа конечна. [4]
Всякая неприводимая коммутативная комплексная алгебраическая группа связна. [5]
Отображение комплексных алгебраических групп, являющееся гомоморфизмом абстрактных групп и антиголоморфным морфизмом групповых многообразий, называется антиголоморфным гомоморфизмом. Согласно предыдущему, комплексное сопряжение относительно любой вещественной формы G0 является инволютивным антиголоморфным автоморфизмом группы G. Для неприводимых групп верно и обратное. [6]
Элемент касательной алгебры комплексной алгебраической группы О полупрост тогда и только тогда, когда элемент ехр группы G полупрост. [7]
Таким образом, для комплексной алгебраической группы неприводимость равносильна связности в вещественной топологии. Заметим еще, что, поскольку неприводимые компоненты алгебраической группы не пересекаются, ее неприводимость равносильна ее связности в топологии Зарисского. Учитывая все эти обстоятельства, мы будем, говоря о комплексных алгебраических группах, употреблять термин связная вместо неприводимая, во избежание путаницы ее свойством неприводимости линейных групп, которое означает отсутствие нетривиальных инвариантных подпространств. [8]
Пусть алгебраическая подгруппа Н комплексной алгебраической группы G порождается связными алгебраическими подгруппами На, а А. [9]
В упражнениях 11, 12 G обозначает связную полупростую комплексную алгебраическую группу, g - ее касательную алгебру. [10]
G вкладывается в качестве вещественной формы в некоторую комплексную алгебраическую группу G ( Q. Следующий пример показывает, что для групп Ли ( даже полупростых) аналогичное утверждение неверно. [11]
С помощью этой теоремы легко доказывается, что присоединенное представление комплексной алгебраической группы G является полиномиальным. [12]
Можно представлять себе, что она заменяет алгебру регулярных функций на соответствующей комплексной алгебраической группе. В классической ситуации это в точности алгебра представляющих функций на ассоциированной компактной группе1, и эта алгебра плотна в С - алгебре, непрерывных функций на компактной группе. [13]
На любой компактной группе Ли К существует единственная структура вещественной алгебраической группы, причем комплексная алгебраическая группа К ( С) редуктивна. Любая редуктивная комплексная алгебраическая группа обладает алгебраической компактной вещественной формой. Две компактные группы Ли изоморфны ( как группы Ли или как алгебраические группы над К) тогда и только тогда, когда изоморфны соответствующие редуктивные алгебраические группы над С. [14]
Все борелевские подгруппы алгебраической группы G сопряжены друг другу. Факторпространство комплексной алгебраической группы по борелевской подгруппе является проективным алгебраическим многообразием. [15]