Cтраница 2
Например, комплексное сопряжение комплексной алгебраической группы G относительно ее вещественной формы ( или, что то же, инволютивный антиголоморфнын автоморфизм группы G) есть вещественная структура в G. Если S - вещественная структура в связной комплексной группе ли G, то в силу задачи 1.2.31 подгруппа Gs - вещественная форма группы G, а ее касательная алгебра совпадает с gris. Для алгебраических групп аналогичный факт был доказан в гл. [16]
Тогда всякий дифференцируемый гомоморфизм группы G в комплексную алгебраическую группу Н полиномиален. [17]
Из задачи 9 и теоремы 1.4.1 следует, что связная полупростая группа Ли совпадает со своим коммутантом. Поэтому ( см, теорему 3.3.4) всякое дифференцируемое представление связной полупростой комплексной алгебраической группы G полиномиально. В силу теоремы 3.3.5 алгебраическая структура на G единственна. В § 3 будет доказано, что всякая связная полупростая комплексная группа Ли допускает структуру алгебраической группы. [18]
Две подалгебры некоторой алгебры Ли g называются сопряженными, если они переводятся друг в друга автоморфизмом из группы Inig. Из задач 14 и 3.2.24 следует, что все максимальные диагонализуемые подалгебры касательной алгебры комплексной алгебраической группы сопряжены между собой. [19]
Таким образом, для комплексной алгебраической группы неприводимость равносильна связности в вещественной топологии. Заметим еще, что, поскольку неприводимые компоненты алгебраической группы не пересекаются, ее неприводимость равносильна ее связности в топологии Зарисского. Учитывая все эти обстоятельства, мы будем, говоря о комплексных алгебраических группах, употреблять термин связная вместо неприводимая, во избежание путаницы ее свойством неприводимости линейных групп, которое означает отсутствие нетривиальных инвариантных подпространств. [20]
В этом пункте мы рассматриваем связные компактные группы Ли и их обобщение - связные группы Ли с компактной касательной алгеброй. Будут изучены некоторые свойства максимальных связных коммутативных подгрупп в этих группах, аналогичные свойствам максимальных торов в комплексных алгебраических группах. [21]