Cтраница 2
Работы подразделяются на несколько циклов: теория представлений груш Ли; интегрируемые системы и их связи с бесконечномерными группами и алгебрами Ли; теория представлений симметрических групп; дискретные группы; операторные алгебры; комбинаторика и выпуклый анализ. [16]
В следующем параграфе мы перейдем к пределу по п / во введенных здесь группах, алгебрах и представлениях, получим уже не-тривиализуемое расширение бесконечномерных групп и кратко рассмотрим их представление. [17]
Эти соотношения показывают, что бесконечномерная группа НУ одновременно является конечномерной ( десяти-параметри ческой) квазигруппой. [18]
Для наиболее классических ( или естественных) групп классификация коприсоединенных орбит эквивалентна той или иной уже известной проблеме. В некоторых случаях, особенно для бесконечномерных групп, возникают новые геометрические и аналитические проблемы. Здесь мы рассмотрим только три примера. Ниже появятся и некоторые другие случаи. [19]
G локально компактна ( в частности, на бесконечномерных группах И. [20]
В этом параграфе вводятся бесконечномерные алгебры Ли и их разложения, играющие в дальнейшем основную роль. Описание нужных нам орбит и гамильтоновой механики на них не требует привлечег ния соответствующих бесконечномерных групп Ли - групп токов. Однако геометрическая конструкция § I позволяет выразить решение уравнений движения через решение задачи факторизации в группе. [21]
Широко известен механизм появления проективности унитарных представлений, связанный с группой Гейзенберга; именно, он возникает в простейших моделях квантования. С переходом к центральному расширению как раз и связано появление постоянной Планка. Для бесконечномерных групп, в частности, групп токов, такой способ получения проективных представлений использован в [16] стр. [22]
Оказывается, что такие уравнения в ряде случаев имеют интересный физический смысл. Например, случай, когда G есть группа всех движений трехмерного евклидова пространства ( 0 О ( 3) - Г, где Т - группа параллельных переносов), соответствует движению тела по инерции в идеальной жидкости. Но наиболее интересным является случай бесконечномерной группы Ли всех диффеоморфизмов многообразия - алгеброй Ли ее является алгебра Ли всех векторных полей. Этот случай связан с явлениями типа движения идеальной жидкости. Однако он не укладывается в стандартную теорию групп и алгебр Ли, и теория находится здесь, по-видимому, на эвристическом уровне. [23]
Связь между вариационными симметриями и законами сохранения для систем, не являющихся вполне невырожденными, менее понятна. Хотя основная формула интегрирования по частям (4.39) по-прежнему дает вариационную симметрию для каждого закона сохранения и наоборот, теперь нет гарантий, что нетривиальные симметрии приведут к нетривиальным законам сохранения или наоборот. В случае аналитических систем мы видели, что возможны два основных типа анормальности. Переопределенные системы в этом отношении менее поняты, и точная связь между их симметриями и законами сохранения не установлена. Однако недоопределенные системы подпадают под действие второй теоремы Нетер, относящейся к системам, допускающим бесконечномерные группы вариационных симметрии. Получающиеся зависимости между уравнениями Эйлера - Лагранжа можно интерпретировать как тривиальные законы сохранения, определенные нетривиальными группами вариадионных симметрии, так что красивое взаимно однозначное соответствие из теоремы 5.42 в случае недоопределенных систем нарушается. [24]
Напомним, что Исходным пунктом МОЗР решения нелинейных уравнений является возможность записать нелинейное уравнение как условие разрешимости пары коммутирующих линейных уравнений. Тем не менее, приемы, разработанные в МОЗР, переносятся и на более общие системы. Действительно, в [10] с помощью метода Римана - Гильберта было установлено существование в уравнениях N - Ц суперсимметричной калибровочной теории бесконечномерной группы скрытой симметрии, причем алгеброй Ли для этой группы является алгебра токов. II ] было показано, что при помощи разложения линейных уравнений из [9] по спектральному параметру может быть получена бесконечная последовательность нелокальных сохраняющихся токов. [25]
Многие из наших предыдущих приложений геометрических симметрии остаются в силе для обобщенных симметрии. В частности, теорема Нетер доставляет теперь полное взаимно однозначное соответствие между однопараметрическими группами обобщенных вариационных симметрии некоторого функционала и законами сохранения соответствующих ему уравнений Эйлера - Лагранжа. В частности, интерпретация группы симметрии линейной системы как оператора рекурсии сразу приводит к бесконечным семействам законов сохранения, зависящих от производных высших порядков, в очень общих ситуациях. Недавние результаты еще больше выявляют роль тривиальных симметрии и законов сохранения в нетеровом соответствии для вполне невырожденных систем, из которого следует, что каждая нетривиальная группа вариационных симметрии дает нетривиальный закон сохранения и наоборот. Переопределенные системы подпадают под действие второй теоремы Нетер, которая связывает бесконечномерные группы вариационных симметрии с зависимостями между самими уравнениями Эйлера - Лагранжа. Все это будет подробно обсуждаться в третьем параграфе этой главы. [26]